抽象代数基本概念（四）：半群、幺半群的同构与同态

同构：

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$设(S; ◦) 和(T; $*$) 是两个半群。如果存在一个从S 到T 的双射φ，使得 $\forall a,b \in S$ 有φ(a ◦ b) = φ(a) $*$ φ(b)则称半群(S; ◦) 与(T; $*$ ) 同构。记为(S; ◦) $\cong$(T; $*$)，简记为S $\cong$T。φ 称为从S 到T 的一个同构（映射）。

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$设(M; ◦; e) 和(M′; $*$; e′) 是两个幺半群。如果存在一个从M 到M′ 的双射φ，使得 $\forall a,b \in M$ 有φ(e) = e′; φ(x ◦ y) = φ(x) $*$ φ(y)则称幺半群(M; ◦; e) 和(M′; $*$; e′) 同构。记为(M; ◦; e) $\cong$(M′; $*$; e′)，简记为M $\cong$M′。φ 称为从M 到M′ 的一个同构（映射）。

同态：

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$设(S; ◦) 和(T; $*$) 是两个半群。如果存在一个从S 到T 的映射φ，使得 $\forall a,b \in S$有φ(a ◦ b) = φ(a) $*$ φ(b)则称半群(S; ◦) 与(T; $*$ ) 是同态的。φ 称为从S 到T 的一个同态。φ(S)称为同态象。若(M; ◦; e) 和(M′; $*$; e′) 是两个幺半群。
$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$如果存在一个从M 到M′ 的映射φ，使得 $\forall a,b \in M$有φ(e) = e′; φ(x ◦ y) = φ(x) $*$ φ(y)则称幺半群(M; ◦; e) 与(M′; $*$ ; e′) 同态。φ 称为从M 到M′ 的一个同态。

（一）幺半群的凯莱定理：

• 定理：
  $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$任何幺半群(M; ◦; e) 同构于变换幺半群
  $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ $(L(M);*;I_M)$ $(L(M);◦;I_M)$中 $L(M)$是一个 $M$上的一一对应的集合。 $L(M)=\{f_a(x)|f_a(x):M->M;\forall x,f_a(x)=a◦x;a\in M\}$； $I_M=f_e(x)=e◦x$。
  $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$定义运算 $*$满足 $\forall f_a(x),f_b(x) \in L(M) ;f_a(x)*f_b(x)=f_{a◦b}(x)$
• 证明：
  $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$做映射 $\varphi(z):M->L(M),\varphi(z)=f_z(x)$，该映射首先是一个双射，而且满足同构的条件φ(e) = $I_M$; $\forall x,y\in M,$ φ(x ◦ y) = φ(x) * φ(y)。因而可证幺半群的凯莱定理成立。
  
  
  

（二）同态相关定理：

• 定理一：
  $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$设(S; ◦) 是一个半群，(T; $*$) 是一个具有二元代数运算 $*$的代数系。如果存在满映射φ : S ->T 使得 $\forall x,y \in S$ 有φ(x ◦ y) = φ(x) $*$ φ(y)则(T; $*$) 是半群。
• 证明：
  $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$只需要证明(T; $*$)中的运算 $*$满足乘法的结合律即可。 $\forall x,y,z \in T$，要证 $x*(y*z)=(x*y)*z$。因为 $\forall x,y,z\in T;\exist a,b,c\in S$，使得 $\varphi(a)=x,\varphi(b)=y,\varphi(c)=z$成立。所以可以将条件“ $\forall x,y \in S$ 有φ(x ◦ y) = φ(x) $*$ φ(y)”改写为 $\forall x,y \in T;x*y=\varphi(a)*\varphi(b)=\varphi(a◦b)$。进而 $x*(y*z)=\varphi(a◦(b◦c)）=\varphi((a◦b)◦c)=(x*y)*z$
  
  
• 定理二：
  $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$设(S; ◦; e) 是一个幺半群，(T; $*$) 是半群。如果φ 是S 到T 的满半群同态，则φ(e) 是T 的单位元，从而(T; $*$; φ(e)) 是幺半群。
• 证明：
  $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$直接由同态的定义：如果φ是S到T的满半群同态，则 $\forall x\in T;\exist a\in S,\varphi(a)=x$。那么，就有 $\forall x \in T,\varphi(e)*x=\varphi(e)*\varphi(a)=\varphi(e\circ a)=x$。同理可证 $\forall x \in T,x*\varphi(e)=x$。从而说明了φ(e) 是T 的单位元，而(T; $*$; φ(e)) 是幺半群。
  
  
• 定理三：
  $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$设(M1; ◦; e1) 和(M2; $*$; e2) 是幺半群。如果M1 到M2 有一个同态φ，则M1 的可逆元素a 的象φ(a) 也可逆并且 $(φ(a))^{-1}$ = φ( $a^{-1}$)。
• 证明：
  $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$直接由同态的定义：如果φ是M1到M2的幺半群同态，则有 $\forall a\in M1，a可逆:\varphi(a)*\varphi(a^{-1})=\varphi(a\circ a^{-1})=\varphi(e); \varphi(a^{-1})*\varphi(a)=\varphi(a^{-1}\circ a)=\varphi(e)$。那么，就有φ(a) 也可逆并且 $(φ(a))^{-1}$ = φ( $a^{-1}$)。
  
  
• 定理四：
  $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$设φ 是半群(S1; ◦) 到(S2; $*$) 的同态，μ是半群(S2; $*$) 到(S3; $\cdot$) 的同态，则 μ与φ的合成映射 μ $\bullet$φ是一个(S1; ◦) 到(S3; $\cdot$) 的同态。
  $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$也就是说，假如视半群的同态为一种二元关系，半群的同态关系是满足自反性和传递性的。
• 证明：
  $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$根据同态的定义： $\forall a,b\in S1:\varphi(a\circ b)=\varphi(a)*\varphi(b);\forall x,y \in S2:\mu(x*y)=\mu(x)\cdot\mu(y)$。则有 $\forall m,n\in S1:\mu[\varphi(m\circ n)]=\mu[\varphi(m)*\varphi(n)]=\mu[\varphi(m)]\cdot \mu[\varphi(n)]$。因此合成映射μ $\bullet$φ是一个(S1; ◦) 到(S3; $\cdot$) 的同态。

（三）自然同态与商群：

• 定义：（同余关系）
  $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$设 $\simeq$是代数系(X; ◦) 上的等价关系。 $\forall a,a',b,b'\in X$，如果a′ $\simeq$a 并且b′ $\simeq$b，则必有a′ ◦ b′ $\simeq$a ◦ b，那么就称 $\simeq$是代数系X 上的同余关系。

• 定义：（商半群）
  $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$设(S; ◦) 和(T; $*$) 是两个半群。φ 是S 到T 的同态。半群(S/Eφ; $\cdot$) 称为商半群。

• 说明：
  $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$商半群是一个由等价类构成的集合。S/Eφ= $\{[x]_a|x\in S; \varphi(x)=a(a\in S)\}$。而且对于S/Eφ上的二元代数运算“ $\cdot$”满足 $[x]_a\cdot[y]_b=[x\circ y]_c$。因为对于 $\forall x,x'\in [x]_a;\forall y,y'\in[y]_b$，可以根据同态的定义证明 $\varphi(x\circ y)=\varphi(x'\circ y')=c$。亦即 $x\circ y,x'\circ y'\in[x\circ y]_c$

• 定义：（自然同态）
  $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$设(S; ◦) 和(T; $*$) 是两个半群。φ 是S 到T 的同态。半群(S/Eφ; $\cdot$) 为φ导出的商半群。令 $\gamma$: S $\to$S/Eφ; $\forall a\in S$; $\gamma$(a) = [a] 则称 为S 到商半群S/Eφ 的自然同态。

• 说明：
  $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$因为 $\forall a,b\in S;\gamma$(a) = [a]; $\gamma$(b) = [b]。则有： $\gamma(a\circ b)=[a\circ b]=\gamma(a) \cdot \gamma(b)$。从而可以说明 $\gamma$是一个S到S/Eφ的同态。
  $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$自然同态一定是一个满同态。
  
  

（四）幺半群的同态基本定理：

设φ 是幺半群(M; ◦; e) 到(M′; $*$ ; e′) 的同态，则:
1.同态象φ(M) 是M′ 的一个子幺半群。
2.由φ 确定的等价关系是同余关系，(M/Eφ; $\cdot$; [e]) 是幺半群。
3.存在唯一的M/Eφ 到M′ 的单同态 $\bar{\varphi}$ 使得 $\bar{\varphi}\circ \gamma=\varphi$。其中 $\gamma$是由φ生成的自然同态。
4.如果φ是一个满同态，则 $\bar{\varphi}$是一个双射，M/Eφ 与M′ 同构。。