算法分析与设计实践-作业8-动态规划之矩阵链乘法

动态规划：矩阵链乘法

1.问题

设A1，A2，… ，An为n个矩阵的序列，其中Ai为Pi-1*Pi阶矩阵，这个矩阵链 的输入用向量P=<P0，P1，… ，Pn>给出。
给定向量P，确定一种乘法次序，使得基本运算的总次数达到最小。

2.解析

对于矩阵链乘法问题，我们将所有对于1≤i≤j≤n确定A i A i+1 …A j 的最小代价括号方案作为子问题。令m[i,j]表示计算矩阵A i,j 所需要的标量乘法的次数最小值，则最优解就是计算A i…n所需的最低代价就是m[1,n]
① 对于i=j的情况下，显然有m=0，不需要做任何标量乘法运算。所以，对于所有的i=1、2…n，m[i，i] = 0.
② 当i < j的情况，就按照最优括号化方案的结构特征进行计算m[i,j]。假设最优括号化方案的分割点在矩阵Ak和Ak+1之间，那么m的值就是Ai…k和Ak+1…j的代价加上两者量程的代价的最小值。

m只是给出了子问题最优解的代价，但是并未给出构造最优解的足够信息(即分割点的位置信息)。所以，在此基础之上，我们使用一个二维数组s[i,j]来保存 A i A i+1 …A j 的分割点位置k。

3.设计

	for(int l=2;l<=n;l++){
    
    
		for(int i=1;i<=n-l+1;i++){
    
    
			int j=i+l-1;
			dp[i][j]=inf;
			for(int k=i;k<=j-1;k++){
    
    
				int q=dp[i][k]+dp[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
				if(q<dp[i][j]){
    
    
					dp[i][j]=q;
					s[i][j]=k;
				}
			}
		}
	}

4.分析

时间复杂度：T(n)=O(n3)

5.源码

https://github.com/lu-225/As-before/blob/master/2018212212124%20%E9%99%86%E5%AE%B6%E8%BE%89%20%E5%AE%9E%E9%AA%8C8/%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%E4%B9%8B%E7%9F%A9%E9%98%B5%E9%93%BE%E4%B9%98%E6%B3%95.cpp