[动态规划] 矩阵链乘法

讲解： $n$ 个矩阵相乘时， $M_{i}$ 为 $p_{i - 1}$ 行 $p_{i}$ 列的矩阵，以 $(M_{1}M_{2}....M_{6})$ 为例进行分析，这些矩阵的乘积有多种计算顺序。举个例子，我们按习惯的从左到右的顺序进行计算时可以写作 $(((((M_{1}M_{2})M_{3})M_{4})M_{5})M_{6})$ ，从左到右计算时可以写作 $(M_{1}(M_{2}(M_{3}(M_{4}(M_{5}M_{6})))))$ 。除此之外还有 $(M_{1}(M_{2}(M_{3}M_{4})(M_{5}M_{6})))$ 等等，计算的顺序多种多样。这些计算顺序得出的结果（矩阵链乘积）完全相同，但不同顺序下的 “ 乘法运算次数 ” 会有所差异。

处理矩阵链乘法问题时，如果检查所有可能的计算顺序，那么算法的复杂度将达到 $O(n!)$ 。不过，由于这个问题能够分割成更小的局部问题，我们可以运用动态规划法。

首先， $(M_{1}M_{2})$ 只有一种计算方法（顺序），需要 $p_{0}\,\ast\,p_{1}\, \ast \, p_{2}$ 次乘法运算。同理， $(M_{2}M_{3})$ 也只有一种计算方法，需要 $p_{1}\, \ast \, p_{2}\, \ast \, p_{3}$ 次乘法运算。归纳后可知， $(M_{i}M_{i + 1})$ 只有一种计算方法，需要 $p_{i - 1}\, \ast \, p_{i}\, \ast \, p_{i+1}$ 次乘法运算。于是我们将这些运算次数视为 “ 成本 ” 记录在表中。

接下来求 $(M_{1}M_{2}M_{3}),\,(M_{2}M_{3}M_{4})\,,....,\,(M_{n - 2}M_{n-1}M_{n})$ 的最优计算方法。举个例子，计算 $(M_{1}M_{2}M_{3})$ 的最优计算方法时，我们要分别算出 $(M_{1}(M_{2}M_{3}))$ 与 $((M_{1}M_{2})M_{3})$ 的成本，取其中最小的一个作为 $(M_{1}M_{2}M_{3})$ 的成本记录在表中。这里：

$(M_{1}(M_{2}M_{3}))$ 的成本 $=$ $(M_{1})$ 的成本 $+$ $(M_{2}M_{3})$ 的成本 $+$ $p_{0}\,\ast\,p_{1}\,\ast\,p_{3}$
$((M_{1}M_{2})M_{3})$ 的成本 $=$ $(M_{2}M_{3})$ 的成本 $+$ $(M_{3})$ 的成本 $+\,p_{0}\,\ast\,p_{2}\,\ast\,p_{3}$

请注意，这一步用到的 $(M_{1}M_{2})$ 和 $(M_{2}M_{3})$ 的成本可以直接从表中引用，不需要再进行计算。另外还要注意，当 $1\leqslant i \leqslant n$ 时， $(M_{i})$ 的成本为 $0$ 。

一般情况下，矩阵链乘法 $(M_{i}M_{i+1}.....M_{j})$ 的最优解就是 $(M_{i}M_{i+1}...M_{k})(M_{k+1}...M_{j})$ 的最小成本（其中 $i \leqslant k < j$ ）。

举个例子， $(M_{1}M_{2}M_{3}M_{4}M_{5})$ $(i = 1,\,j = 5 )$ 时的最优解就是下列式子中的最小值。

$(M_{1})(M_{2}M_{3}M_{4}M_{5})$ 的成本 $=$ $(M_{1})$ 的成本 $+$ $(M_{2}M_{3}M_{4}M_{5})$ 的成本 $+\, p_{0}\,\ast\,p_{1}\,\ast\,p_{5}$ $(k = 1)$
$(M_{1}M_{2})(M_{3}M_{4}M_{5})$ 的成本 $=$ $(M_{1}M_{2})$ 的成本 $+\,(M_{3}M_{4}M_{5})$ 的成本 $+\,p_{0}\,\ast\,p_{2}\,\ast\,p_{5} \,(k = 2)$
$(M_{1}M_{2}M_{3})(M_{4}M_{5})$ 的成本 $=\,(M_{1}M_{2}M_{3})$ 的成本 $+\,(M_{4}M_{5})$ 的成本 $+\,p_{0}\,\ast\,p_{3}\,\ast\,p_{5}\,(k = 3)$
$(M_{1}M_{2}M_{3}M_{4})(M_{5})$ 的成本 $=\,(M_{1}M_{2}M_{3}M_{4})$ 的成本 $+\,(M_{5})$ 的成本 $+\,p_{0}\,\ast\,p_{4}\,\ast\,p_{5}$ $(k = 4)$

现在来看看这个算法的具体实现方法。先准备下述变量。

$m[n+1][n+1]$	该二维数组中， $m[i][j]$ 表示计算 $(M_{i}M_{i+1}...M_{j})$ 时所需要乘法运算的最小次数
$p[n+1]$	该一位数组用于储存矩阵的行列数，其中 $M_{i}$ 是 $p[i - 1] \,\ast\,p[i]$ 的矩阵

利用上述变量，我们可以利用下面的式子求出 $m[i][j]$ 。

$m[i][j] = \left\{\begin{matrix} 0& & (if \, i = j)\\ min_{i\leqslant k<j}(m[i][k] + m[k+1][j] + p[i - 1]\,\ast\,p[k]\,\ast\,p[j])& & (if\,i <j) \end{matrix}\right.$

这个算法的实现方法如下：

matrixChainMultiplication()
    for i = 1 to n
        m[i][j] = 0

    for l = 2 to n
        for i = 1 to n - l + 1
            j = i + l - 1
            m[i][j] = INFTY
            for k = i to j - 1
                m[i][j] = min(m[i][j], m[i][k] + m[k + l][j] + p[i - l] * p[k] * p[j])

考察：这个算法需要让对象的矩阵对象的数量 $l$ 从 $2$ 逐步增加到 $n$ ，同时对于每个 $l$ 要通过不断改变 $i$ 和 $j$ 来改变指定范围。除此之外，还需要在 $i$ 和 $j$ 的范围内让 $k$ 不断变化。整个算法由三重循环构成，因此复杂度为 $O(n^{3})$ 。

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

static const int N = 100;

int main() {
    int n, p[N + 1], m[N + 1][N + 1];
    cin >> n;
    
    for (int i = 1; i <= n; i++）
        cin >> p[i - 1] >> p[i];

    for (int i = 1; i <= n; i++) m[i][j] = 0;
    for (int l = 2; l <= n; l++) {
        for (int i = 1; i <= n - l + 1; i++) {
            int j = i + l - 1;
            m[i][j] = (1 << 21);
            for (int k = i; k <= j - 1; k++)
                m[i][j] = min(m[i][j], m[i][k] + m[k + l][j] + p[i - l] * p[k] * p[j]);
        }
    }

    cout << m[l][n] << endl;

    return 0;
}

[动态规划] 矩阵链乘法

猜你喜欢