「线段树」第 2 节：写出预处理数组的结构

由于「线段树」是平衡二叉树，因此可以使用数组表示

以前我们学习过「堆」，知道「堆」是一棵「完全二叉树」，因此「堆」可以用数组表示。基于此，我们很自然地想到可以用数组表示「线段树」；
完全二叉树的定义：除了最后一层以外，其余各层的结点数达到最大，并且最后一层所有的结点都连续地、集中地存储在最左边；
线段树虽然不是完全二叉树，但线段树是平衡二叉树，依然也可以用数组表示。

如何构建线段树、如何实现区间查询、如何实现区间更新

「自顶向下」递归构建线段树

首先看看「线段树」长什么样；
线段树是一种二叉树结构，不过在实现的时候，可以使用数组实现，这一点和「优先队列」、「并查集」是一致的。

当区间里结点的个数恰好是 $2$ 的方幂时：
在这里插入图片描述

需要多少空间

「线段树」的一个经典实现是从上到下递归构建，这一点很像根据员工人数来定领导的人数，设置多少领导的个数就要看员工有多少人了；
再想一想，我们在开篇对于线段树的介绍，线段树适合支持的操作是「查询」和「更新」，不适用于「添加」和「删除」。

下面以「员工和领导」为例，讲解从上到下逐步构建线段树的步骤：我们首先要解决的问题是「一共要设置多少领导」，我们宁可有一些位置没有人坐，也要让所有的人都坐下，因此我们在做估计的时候只会放大。

线段树是一颗平衡二叉树

比较极端的一种情况：

在这里插入图片描述

比较一般的一种情况：

在这里插入图片描述

线段树是一棵二叉树，除了最后一层以外，每一层都是「满」的；
第 $i$ 层（ $i$ 从 0 开始计算）的结点个数为 $2^i$ ；
第 $i$ 层之前的所有结点的个数之和： $2^0 + 2^1 + 2^2 + \dots + 2^{i-1} = \cfrac{1 \times (1 - 2^i)}{1 - 2} = 2^i - 1 < 2^i$
假设 $N = 2^i$ ，最坏情况下，还要占用下一层，使用 $2 N$ 空间，第 $i$ 层之前的所有结点的个数之和小于 $N$ ；
所以 $N + N + 2 N = 4 N$ 这么多空间肯定够了。

根据上面的讨论，我们可以写出线段树的代码框架：

Java 代码：

public class SegmentTree<E> {
    
    
    // 一共要给领导和员工准备的椅子，是我们要构建的辅助数据结构
    private E[] tree;
    // 原始的领导和员工数据，这是一个副本
    private E[] data;

    public SegmentTree(E[] arr) {
    
    
        this.data = data;
        // 数组初始化
        data = (E[]) new Object[arr.length];
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
    
    
            data[i] = arr[i];
        }
        tree = (E[]) new Object[4 * arr.length];
    }

    public int getSize() {
    
    
        return data.length;
    }

    public E get(int index) {
    
    
        if (index < 0 || index >= data.length) {
    
    
            throw new IllegalArgumentException("Index is illegal.");
        }
        return data[index];
    }

    /**
     * 返回完全二叉树的数组表示中，索引所表示的元素的左孩子结点的索引
     * 注意：索引编号从 0 开始
     *
     * @param 线段树的某个结点的索引
     * @return 传入的结点的左结点的索引
     */
    public int leftChild(int index) {
    
    
        return 2 * index + 1;
    }

    /**
     * 返回完全二叉树的数组表示中，索引所表示的元素的左孩子结点的索引
     * 注意：索引编号从 0 开始
     *
     * @param 线段树的某个结点的索引
     * @return 传入的结点的右结点的索引
     */
    public int rightChild(int index) {
    
    
        return 2 * index + 2;
    }

}

Python 代码：

class SegmentTree:

    def __init__(self, arr):
        self.data = arr
        # 开 4 倍大小的空间
        self.tree = [None for _ in range(4 * len(arr))]

    def get_size(self):
        return len(self.data)

    def get(self, index):
        if index < 0 or index >= len(self.data):
            raise Exception("Index is illegal.")
        return self.data[index]

    def __left_child(self, index):
        return 2 * index + 1

    def __right_child(self, index):
        return 2 * index + 2

「力扣」第 303 题：区域和检索 - 数组不可变

题目链接：303. 区域和检索 - 数组不可变

方法：基于线段树（区间树）的实现。