「力扣」第 152 题：乘积最大的子数组（动态规划）

思路

这个问题很像「力扣」第 53 题：最大子序和，只不过当前这个问题求的是乘积的最大值；
「连续」这个概念很重要，可以参考第 53 题的状态设计，将状态设计为：以 nums[i]结尾的连续子数组的最大值；
类似状态设计的问题还有「力扣」第 300 题：最长上升子序列，「子数组」、「子序列」问题的状态设计的特点是：以 nums[i] 结尾，这是一个经验，可以简化讨论。

提示：以 nums[i] 结尾这件事情很重要，贯穿整个解题过程始终，请大家留意。

分析与第 53 题的差异

求乘积的最大值，示例中负数的出现，告诉我们这题和 53 题不一样了，一个正数乘以负数就变成负数，即：最大值乘以负数就变成了最小值；
因此：最大值和最小值是相互转换的，这一点提示我们可以把这种转换关系设计到「状态转移方程」里去；
如何解决这个问题呢？这里常见的技巧是在「状态设计」的时候，在原始的状态设计后面多加一个维度，减少分类讨论，降低解决问题的难度。

这里是百度百科的「无后效性」词条的解释：

无后效性是指如果在某个阶段上过程的状态已知，则从此阶段以后过程的发展变化仅与此阶段的状态有关，而与过程在此阶段以前的阶段所经历过的状态无关。利用动态规划方法求解多阶段决策过程问题，过程的状态必须具备无后效性。

再翻译一下就是：「动态规划」通常不关心过程，只关心「阶段结果」，这个「阶段结果」就是我们设计的「状态」。什么算法关心过程呢？「回溯算法」，「回溯算法」需要记录过程，复杂度通常较高。

而将状态定义得更具体，通常来说对于一个问题的解决是满足「无后效性」的。这一点的叙述很理论化，不熟悉朋友可以通过多做相关的问题来理解「无后效性」这个概念。

第 1 步：状态设计（特别重要）

dp[i][j]：以 nums[i] 结尾的连续子数组的最值，计算最大值还是最小值由 j 来表示，j 就两个值；
- 当 j = 0 的时候，表示计算的是最小值；
- 当 j = 1 的时候，表示计算的是最大值。

这样一来，状态转移方程就容易写出。

第 2 步：推导状态转移方程（特别重要）

由于状态的设计 nums[i] 必须被选取（请大家体会这一点，这一点恰恰好也是使得子数组、子序列问题更加简单的原因：当情况复杂、分类讨论比较多的时候，需要固定一些量，以简化计算）；
nums[i] 的正负和之前的状态值（正负）就产生了联系，由此关系写出状态转移方程：
- 当 nums[i] > 0 时，由于是乘积关系：
  - 最大值乘以正数依然是最大值；
  - 最小值乘以同一个正数依然是最小值；
- 当 nums[i] < 0 时，依然是由于乘积关系：
  - 最大值乘以负数变成了最小值；
  - 最小值乘以同一个负数变成最大值；
- 当 nums[i] = 0 的时候，由于 nums[i] 必须被选取，最大值和最小值都变成 $0$ ，合并到上面任意一种情况均成立。
但是，还要注意一点，之前状态值的正负也要考虑：例如，在考虑最大值的时候，当 nums[i] > 0 是，如果 dp[i - 1][1] < 0 （之前的状态最大值），此时 nums[i] 可以另起炉灶（这里依然是第 53 题的思想），此时 dp[i][0] = nums[i] ，合起来写就是：

dp[i][1] = max(nums[i], nums[i] * dp[i - 1][0]) if nums[i] >= 0

其它三种情况可以类似写出，状态转移方程如下：

dp[i][0] = min(nums[i], nums[i] * dp[i - 1][0]) if nums[i] >= 0
dp[i][1] = max(nums[i], nums[i] * dp[i - 1][0]) if nums[i] >= 0

dp[i][0] = min(nums[i], nums[i] * dp[i - 1][1]) if nums[i] < 0
dp[i][1] = max(nums[i], nums[i] * dp[i - 1][0]) if nums[i] < 0

第 3 步：考虑初始化

由于 nums[i] 必须被选取，那么 dp[i][0] = nums[0]，dp[i][1] = nums[0]。

第 4 步：考虑输出

题目问连续子数组的乘积最大值，这些值需要遍历 dp[i][1] 获得。

参考代码 1：

public class Solution {
    
    

    public int maxProduct(int[] nums) {
    
    
        int len = nums.length;
        if (len == 0) {
    
    
            return 0;
        }

        // dp[i][0]：以 nums[i] 结尾的连续子数组的最小值
        // dp[i][1]：以 nums[i] 结尾的连续子数组的最大值
        int[][] dp = new int[len][2];
        dp[0][0] = nums[0];
        dp[0][1] = nums[0];
        for (int i = 1; i < len; i++) {
    
    
            if (nums[i] >= 0) {
    
    
                dp[i][0] = Math.min(nums[i], nums[i] * dp[i - 1][0]);
                dp[i][1] = Math.max(nums[i], nums[i] * dp[i - 1][1]);
            } else {
    
    
                dp[i][0] = Math.min(nums[i], nums[i] * dp[i - 1][1]);
                dp[i][1] = Math.max(nums[i], nums[i] * dp[i - 1][0]);
            }
        }

        // 只关心最大值，需要遍历
        int res = dp[0][1];
        for (int i = 1; i < len; i++) {
    
    
            res = Math.max(res, dp[i][1]);
        }
        return res;
    }
}

复杂度分析：

时间复杂度： $O (N)$ ，这里 $N$ 是数组的长度，遍历 2 次数组；
空间复杂度： $O (N)$ ，状态数组的长度为 $2 N$ 。

问题做到这个地方，其实就可以了。下面介绍一些非必要但进阶的知识。

第 5 步：考虑表格复用

动态规划问题，基于「自底向上」、「空间换时间」的思想，通常是「填表格」，本题也不例外；
由于通常只关心最后一个状态值，或者在状态转移的时候，当前值只参考了上一行的值，因此在填表的过程中，表格可以复用，常用的技巧有：
- 1、滚动数组（当前行只参考了上一行的时候，可以只用 2 行表格完成全部的计算）；
- 2、滚动变量（斐波拉契数列问题）。
掌握非常重要的「表格复用」技巧，来自「0-1 背包问题」（弄清楚为什么要倒序填表）和「完全背包问题」（弄清楚为什么可以正向填表）；
「表格复用」的合理性，只由「状态转移方程」决定，即当前状态值只参考了哪些部分的值。

Java 代码：

public class Solution {
    
    

    public int maxProduct(int[] nums) {
    
    
        int len = nums.length;
        if (len == 0) {
    
    
            return 0;
        }

        int preMax = nums[0];
        int preMin = nums[0];

        // 滚动变量
        int curMax;
        int curMin;

        int res = nums[0];
        for (int i = 1; i < len; i++) {
    
    
            if (nums[i] >= 0) {
    
    
                curMax = Math.max(preMax * nums[i], nums[i]);
                curMin = Math.min(preMin * nums[i], nums[i]);
            } else {
    
    
                curMax = Math.max(preMin * nums[i], nums[i]);
                curMin = Math.min(preMax * nums[i], nums[i]);
            }
            res = Math.max(res, curMax);

            // 赋值滚动变量
            preMax = curMax;
            preMin = curMin;
        }
        return res;
    }
}

复杂度分析：

时间复杂度： $O (N)$ ，这里 $N$ 是数组的长度，遍历 2 次数组；
空间复杂度： $O (1)$ ，只使用了常数变量。

这里说一点题外话：除了必要的「0-1」背包问题和「完全背包」问题，在绝大多数情况下需要掌握「表格复用」的技巧以外。在「力扣」上做的「动态规划」问题都可以不考虑「表格复用」。

我做题通常不先考虑优化空间，理由如下：

空间通常来说是用户不敏感的，并且在绝大多数情况下，空间成本低，我们写程序通常需要优先考虑时间复杂度最优；
时间复杂度和空间复杂度通常来说不可能同时最优，所以我们经常看到的是优化解法思路都是「空间换时间」，这一点几乎贯穿了基础算法领域的绝大多数的算法设计思想；
限制空间的思路，通常来说比较难，一般是在优化的过程中才考虑优化空间，在一些限制答题时间的场景下（例如面试），先写出一版正确的代码是更重要的，并且不优化空间的代码一般来说，可读性更强。

以上个人建议，仅供参考。

总结

动态规划问题通常用于计算多阶段决策问题的最优解。

多阶段，是指解决一个问题有多个步骤；
最优解，是指「最优子结构」。

动态规划有三个概念很重要：

重复子问题：因为重复计算，所以需要「空间换时间」，记录子问题的最优解；
最优子结构：规模较大的问题的最优解，由各个子问题的最优解得到；
无后效性（上面已经解释）。

动态规划有两个特别关键的步骤：

设计状态：
- 有些题目问啥，就设计成什么；
- 如果不行，只要有利于状态转移，很多时候，就可以设计成状态；
- 根据过往经验；
- 还有一部分问题是需要在思考的过程中调整的，例如本题。
推导状态转移方程：通常是由问题本身决定的。

动态规划问题思考的两个方向：

自顶向下：即「递归 + 记忆化」，入门的时候优先考虑这样做；
自底向上：即「递归」，从一个最小的问题开始，逐步得到最终规模问题的解。后面问题见得多了，优先考虑这样做，绝大部分动态规划问题可以「自底向上」通过递推得到。

题目序号	题解
121. 买卖股票的最佳时机（简单）	暴力枚举 + 动态规划 + 差分思想
122. 买卖股票的最佳时机 II（简单）	暴力搜索 + 贪心算法 + 动态规划
123. 买卖股票的最佳时机 III（困难）	动态规划
188. 买卖股票的最佳时机 IV（困难）	动态规划
309. 最佳买卖股票时机含冷冻期（中等）	动态规划
714. 买卖股票的最佳时机含手续费（中等）	动态规划