2002-2003，匈牙利数学奥林匹克决赛 染色，数列

题面

将一个2003边形的每个顶点染为红、蓝、绿三种颜色之一，使得相邻顶点的颜色互不相同.问：有多少种满足条件的方法？

解答

      ~~~~~       不妨记 $T_n$ 为将一个n边形的每个顶点染为红、蓝、绿三种颜色之一，使得相邻顶点的颜色互不相同的方案数.
      ~~~~~      易知，$T_3=6$，$T_4=18$.
      ~~~~~      对于任意一个n（n≥5），记$A_1,A_2,...,A_n$顺次为该n边形的顶点，则对其按题设要求染色，有两种情形：
      ~~~~~      （1）$A_1、A_{n-1}$异色，共有$T_{n-1}$种；
      ~~~~~      （2）$A_1、A_{n-1}$同色，共有$2T_{n-2}$种；
      ~~~~~      因此，$T_n=T_{n-1}+2T_{n-2}(n\ge 5)$.
      ~~~~~      又因为$T_4=18，T_3=6$，所以，$T_n=2(-1{)}^n+2^n$.
      ~~~~~      故$T_{2003}=2^{2003}-2$.