多元函数微分学的几何应用主要是讲述空间向量与微分学的融合,包括:空间曲线的切线和空间曲面的切平面。如果将本文和之前的“空间向量”一文结合起来看,你会发现多元函数微分学与空间向量结合后的神奇。
一、空间曲线的切线
1,空间曲线的参数方程
在“空间向量”一文中提到:空间曲线可以看作是两个空间曲面的交线,可以用一个方程组来描述
也可以用参数方程来描述
细思一下,用方程组描述表示“交线”,这个比较容易理解,那么为什么能用一元的参数方程组来描述呢?
事实上,可以用普通方程通过如下方式推导出参数方程
先假设存在
2,参数方程的切线
一元函数的导数在几何上表示平面曲线在某点的切线的斜率,反过来推广,空间曲线的切线斜率也可以用导数来表示。现在来看空间曲线的切线,它同样可以表示为割线的极限,而割线则表示两点间的连线,很容易用向量来表示,如下
观察上式,在各个分量上等于参数方程的导数,即
这就是空间曲线的切线的斜率(向量)。有了斜率,切线的方程可以用“点斜式”(点向式)表示为
如果令上式等于
3,空间曲线的一般方程
上面是从空间曲线的参数方程来推导它的切线方程,如果已知的是空间曲线的一般方程呢?要怎样才能求出它的切线方程?
答案是:隐函数方程组求导。具体如下
对方程组中各个方程两边分别对 x 求导
解出
那么,切线的斜率向量为
二、空间曲面的切平面
1,空间曲面与空间直线
1)空间曲面的方程
上式是隐函数形式,下面再给出一般形式
2)切平面
二元函数
换句话说,空间直线
这个平面的法向量为
2,法向量与梯度
仔细想想,上面那个法向量既是切平面的法向量,也是空间曲面在点
根据平面“点法式”方程可得切平面的方程为
上面是三维梯度,事实上,也可以换成平面梯度来理解
上式表示沿梯度向量的变化关系,变形一下
这事实上就是切平面的方程,至此,大家可以体会一下切平面的意义。
再变换一下
逆向运用“点法式”,可得
注:貌似得到了两个法向量,但实际上单位化后它们是相等的。