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区间问题
区间选点
原题链接：
https://www.acwing.com/problem/content/907/
题目大意：
给定 N 个闭区间 [ai,bi]，请你在数轴上选择尽量少的点，使得每个区间内至少包含一个选出的点。
输出选择的点的最小数量。
位于区间端点上的点也算作区间内。
思路：
统计合并后不相交区间的个数。
1.对区间按右端点位置进行排序
2.如果一个区间的左端点在上一个大区间的右端点外面，则cnt++。
证明：
因为要统计的是不相交区间，所以采用按右区间排序较好理解。
当对一个区间按右端点排序后，以第一个区间为头，cnt记录的就是不相交区间的个数。必须保证每个不相交区间内有一个点，才能实现在每个区间至少有一个点。
代码：
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e5+5;
struct Range{
int l,r;
bool operator< (const Range &w)const{
return r<w.r;
}
}range[N];
int n;
int main(){
cin>>n;
for(int i=0;i<n;i++){
int a,b;
cin>>a>>b;
range[i]={
a,b};
}
sort(range,range+n);//按右区间从小到大排序
int ed = -2e9,cnt;
for(int i = 0;i < n;i++){
//统计不想交区间的个数
if(range[i].l>ed){
ed=range[i].r;
cnt++;
}
}
cout<<cnt<<endl;
return 0;
}
区间分组
原题链接：
https://www.acwing.com/problem/content/908/
题目大意：
给定 N 个闭区间 [ai,bi]，请你将这些区间分成若干组，使得每组内部的区间两两之间（包括端点）没有交集，并使得组数尽可能小。
输出最小组数。
思路：
对左端点从小到大排序后，利用每一个堆存放已经有的集合的末尾，如果对于新区间v，在堆中存在一个区间k可以将v加入，则将v加入该区间，否则开辟一个新结点。
证明：
新区间的开头大于最小结尾的区间，则可以把这个区间加到后面。
新区间的开头小于等于最小结尾的区间，则将只能添加一个新的集合。
代码：
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;
const int N = 1e5+5;
struct Range{
int l,r;
bool operator< (const Range &w)const{
return l<w.l;
}
}range[N];
int main(){
int n;
cin>>n;
for(int i=0;i<n;i++){
int a,b;
cin>>a>>b;
range[i] = {
a,b};
}
sort(range,range+n);
priority_queue<int ,vector<int >,greater<int > > q;//小根堆中存放区间的右端点
for(int i=0;i<n;i++){
auto v = range[i];
if(q.empty()||v.l<=q.top()) q.push(v.r);//利用左端点进行判断
else{
q.pop();
q.push(v.r);
}
}
cout<<q.size()<<endl;
return 0;
}
区间覆盖
原题链接：
https://www.acwing.com/problem/content/909/
题目大意：
给定 N 个闭区间 [ai,bi] 以及一个线段区间 [s,t]，请你选择尽量少的区间，将指定线段区间完全覆盖。输出最少区间数，如果无法完全覆盖则输出 −1。区间在-1e9-1e9之间，区间数量最多为100000个。
思路：
1.将所有区间按左端点从大大小排序。
2.从前往后依次枚举每个区间，在能覆盖start的所有区间中，找到一个右端点最远的区间。然后将start更新为这个右端点。
代码：
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e5+5;
struct Range{
int l,r;
bool operator< (const Range &w)const{
return l<w.l;
}
}range[N];
int main(){
int n,st,ed;
cin>>st>>ed;
cin>>n;
for(int i=0;i<n;i++){
int l,r;
cin>>l>>r;
range[i]={
l,r};
}
sort(range,range+n);
int res=0,success=false;
for(int i=0;i<n;i++){
int j=i,r=-2e9;
while(j<n&&range[j].l<=st){
//找右区间的最大值
r=max(r,range[j].r);
j++;
}
if(r<st){
//出现断层
res=-1;
break;
}
res++;//选择的区间数+1
if(r>=ed){
//右端点到了区间的右边
success=true;
break;
}
st=r;
i=j-1;
}
if(!success){
res=-1;
}
cout<<res<<endl;
return 0;
}
huffman树
合并果子
原题链接
https://www.acwing.com/problem/content/150/
题目大意：
n堆果子，每堆果子有自己的重量，每次合并任意两堆果子，合并的代价为两堆果子的重量和。需要把所有果子合并为一堆果子，求最小代价。
思路：
每次选取最小的两堆合并，然后将这新的一堆加入，以此类推，直到还有一堆果子，这就是最优解。
代码：
#include<iostream>
#include<queue>
using namespace std;
int main(){
int n;
priority_queue<int,vector<int>, greater<int > > q;//堆
cin>>n;
for(int i=0;i<n;i++){
int x;
cin>>x;
q.push(x);
}
int res=0;
while(q.size()>1){
int a = q.top();q.pop();
int b = q.top();q.pop();
int c = a+b;
res+=c;
q.push(c);
}
cout<<res<<endl;
return 0;
}