CHAPTER_10 提高篇(4)——图算法专题
10.7.1AOV网和AOE网
顶点活动网（AOV）是指用顶点表示活动，而用边集表示活动间优先关系的有向图。若网中所有活动均可以排出先后顺序（任两个活动之间均确定先后顺序），则称网是拓扑有序的，求拓扑序列就是求AOV。
边活动网（AOE）是指用带权的边集表示活动，而用顶点表示事件的有向图。例如下图，边a1-a6表示需要学习的课程，也就是“活动”；边权表示课程学习需要消耗的时间；顶点V1-V6表示到此刻为止前面的课程已经学完，后面的课程已经可以开始学习了，也就是“事件”。显然，“事件”仅代表一个中介状态。
一般来说，AOE网用来表示一个工程的进行过程，AOE网不应当有环。考虑到对工程来说总会有一个起始时刻和结束时刻，因此AOE网一般只有一个源点(入度为0)和一个汇点(出度为0)。AOE网的提出是需要着重解决两个问题：a.工程起始到终止至少需要多少时间；b.哪条(些)路径上的活动是影响整个工程进度的关键。
以上图为例，由于完成a1空间解析几何、a3复变函数、a5实变函数共需要120天，因此在a2高等代数的前提下，a4计算方法可以有40天的弹性时间，即只要在第41-81天开始学习a4计算方法，都能赶在a5实变函数之前完成，从而进入a6泛函分析的学习。显然，a1、a3、a5、a6这四个活动最为关键，因为推迟这个4个中任意一个的开始时间，都会使整个工程的完成时间变长。AOE网中的最长路径被称为关键路径（强调：关键路径就是AOE网的最长路径），而把关键路径上的活动称作关键活动。
10.7.2最长路径
回顾10.4节中讲解了如何求解最短路径，这里简单介绍下如何求解最长路径长度。
对一个没有正环的图（指从源点可达的正环），如果需要求最长路径长度，则可以把所有边权乘以-1，再使用Bellman-Ford算法或SPFA算法求最短路径长度，最后将所得结果取反即可。显然，如果图中有正环，那么最长路径是不存在的。
如果要求有向无环图的最长路径问题，求法在下面的10.7.3小节讨论。