【题解】AcWing 273.分级

AcWing 273.分级

题目描述

给定长度为 $N$ 的序列 $A$，构造一个长度为 $N$ 的序列 $B$，满足：

1. $B$ 非严格单调，即 $B_1\le B_2\le \dots \le B_N$ 或 $B_1\ge B_2\ge \dots \ge B_N$；
2. 最小化 $S={\sum }_{i=1}^N|A_i-B_i|$。

只需要求出这个最小值 $S$。

输入格式

第一行包含一个整数 $N$。

接下来 $N$ 行，每行包含一个整数 $A_i$。

输出格式

输出一个整数，表示最小 $S$ 值。

数据范围

$1\le N\le 2000$,
$0\le A_i\le 10^6$

输入样例

7
1
3
2
4
5
3
9

输出样例

3

题目分析

引理：在最优情况下，一定存在一种构造序列 $B$ 的方式，使得 $B$ 中每个元素都在 $A$ 中出现过。

用数学归纳法证明：
当 $N=1$ 时显然成立；
假设当 $N=k$ 时上述命题成立，那么当 $N=k+1$时：

1. 若 $B_k\le A_{k+1}$，那么令 $B_{k+1}=A_{k+1}$；
2. 否则要么令 $B_{k+1}=B_k$；
3. 要么 $\exists j\le k,B_j=B_{j+1}=\dots =B_k=B_{k+1}=v$。此时设 $A_j,A_{j+1},\dots ,A_{k+1}$ 的中位数为 $mid$，若 $mid\ge B_{j-1}$，那么 $v=mid$，否则 $v=B_{j-1}$。

无论哪种情况，$B$ 中所有数都在 $A$ 中出现过。

状态表示：令 $A$ 经过排序后组成的序列为 $A^{\prime }$。设 $f[i,j]$ 表示已经完成 $B$ 中前 $i$ 个数的构造，且 $B[i]=A^{\prime }[j]$时 $S$ 的最小值。

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状态计算：根据倒数第二个数分类。 f [ i , j ] = m i n { f [ i − 1 , k ] + ∣ A [ i ] − A ′ [ j ] ∣ ∣ 0 ≤ k ≤ j } f[i,j]=min\{f[i-1,k]+|A[i]-A'[j]||0\le k\le j\} f[i,j]=min{ f[i−1,k]+∣A[i]−A′[j]∣∣0≤k≤j}。

类似 最长公共上升子序列，我们用一个数记录 $f[i-1,k]$ 的最小值，因此只需两重循环。

代码：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int INF = 1e9;

int n, res = INF;
int a[2010], b[2010], f[2010][2010];

int dp(){
    
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++) b[i] = a[i];
    sort(b + 1, b + n + 1);
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++){
    
    
        int minv = INF;
        for (int j = 1; j <= n; j ++){
    
    
            minv = min(minv, f[i - 1][j]);
            f[i][j] = minv + abs(a[i] - b[j]);
        }
    }
    int res = INF;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        res = min(res, f[n][i]);
    return res;
}

int main(){
    
    
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> a[i];
    res = dp();
    reverse(a + 1, a + n + 1);
    res = min(res, dp());
    cout << res;
    return 0;
}