【数论】【Luogu P4296】Day4-D/密码箱

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D
Luogu P4296

题目描述

给定n，求出所有正整数x，满足小于n，且x^2(%n)=1
将满足的x按从小到大的顺序依次换行输出

思路

$$x^2\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$$
$$(x+1)(x-1)=kn$$
$$(x+1)=k_1{n}_1(k_1|k,n_1|n）$$
$$(x-1)=k_2{n}_2（k_2|k,n_2|n）$$
那么很显然因为$k_1{n}_1⩽n$，所以$k_1⩽\frac{n}{n_1}$
那肯定不能让$n_1$太小，要不然就T飞了
又可以发现$n_1{n}_2=n$
那么$n_2=\frac{n}{n_1}$
那是不是只需要枚举一个大于$\sqrt{n}$的$n$的约数，然后再求$n_2$，验证求出的x是否为$n_2$的倍数就好了

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define ll long long

using namespace std;

ll n, cnt, t;
ll ans[500005], an[500005];

bool check(ll a)
{
    
    
	for(int j = 0; j * a <= n; ++j)
	{
    
    
		ll a2 = n / a;
		if((j * a - 2) % a2 == 0) 
			ans[++cnt] = j * a - 1;
		if((j * a + 2) % a2 == 0)
			ans[++cnt] = j * a + 1;
	}	
}

int main()
{
    
    
	scanf("%lld", &n);
	if(n == 1) {
    
    
		printf("None\n");
		return 0;
	}
	for(ll i = 1; i <= floor(sqrt(n)); ++i) 
	{
    
    
		if(n % i == 0 && i * i != n) 
			an[++t] = n / i;
		else if(i * i == n)
		{
    
    
			an[++t] = i;
			break;
		}
	}	
	for(int i = 1; i <= t; ++i) check(an[i]);
	sort(ans + 1, ans + cnt + 1);
	int m = unique(ans + 1, ans + cnt + 1) - ans - 1;
	int l = 1, r = m;
	while(ans[l] < 0) l++;
	while(ans[r] >= n) r--;
	if(r - l + 1 == 0) {
    
    
		printf("None\n");
		return 0;
	}
	for(int i = l; i <= r; ++i)
		printf("%lld\n", ans[i]);
	return 0;
}