[AHOI2007]密码箱

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Description

在一次偶然的情况下，小可可得到了一个密码箱，听说里面藏着一份古代流传下来的藏宝图，只要能破解密码就能打开箱子，而箱子背面刻着的古代图标，就是对密码的提示。经过艰苦的破译，小可可发现，这些图标表示一个数以及这个数与密码的关系。假设这个数是n，密码为x，那么可以得到如下表述：密码x大于等于0，且小于n，而x的平方除以n，得到的余数为1。小可可知道满足上述条件的x可能不止一个，所以一定要把所有满足条件的x计算出来，密码肯定就在其中。计算的过程是很艰苦的，你能否编写一个程序来帮助小可可呢？（题中ｘ，ｎ均为正整数）

Input

输入文件只有一行，且只有一个数字n(1<=n<=2,000,000,000)。

Output

你的程序需要找到所有满足前面所描述条件的x，如果不存在这样的x，你的程序只需输出一行“None”(引号不输出)，否则请按照从小到大的顺序输出这些x，每行一个数。

Sample Input

Sample Output

解题思路

题意即求出所有满足 $x^2\equiv1(\mod n)$ 的 $x$ 。
对上式进行变形得到 $(x-1)(x+1)\equiv0(\mod n)$ ，即 $n|(x-1)(x+1)$
将 $n$ 分解为 $n=n_1n_2$ ，不妨设 $n_1\leqslant \sqrt n \leqslant n_2$ ，由于 $(x-1)$ 与 $(x+1)$ 互质，所以 $n_1|(x-1),n_2|(x+1)$ 或 $n_1|(x+1),n_2|(x-1)$
所以我们可以 $O(\sqrt n)$ 枚举 $n_1$ ，得到 $n_2=n/n_1$ ，再枚举 $n_2$ 的倍数判断是否成立；若成立，把答案记录进一个数组中，最后排序去重输出即可，注意特判掉 $1$ 和 $n-1$

时间复杂度，看上去好像是 $O(n)$ 的，但由于约数个数很少，实际上远远达不到此上界

Code

#include<cstdio>
#include<algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;

int n, ans[100000];

int main(){
    scanf("%d", &n);
    if(n == 1)  return puts("None"), 0;
    ans[++ans[0]] = 1;
    for(LL n1 = 2; n1 * n1 <= n; n1++){
        if(n % n1)  continue;
        LL n2 = n / n1;
        for(LL j = 1; n2 * j <= n + 1; j++){
            if(n2 * j + 1 < n && (n2 * j + 2) % n1 == 0)    ans[++ans[0]] = n2 * j + 1;
            if(n2 * j - 1 < n && (n2 * j - 2) % n1 == 0)    ans[++ans[0]] = n2 * j - 1;
        }
    }
    ans[++ans[0]] = n - 1;
    sort(ans+1, ans+ans[0]+1);
    int len = unique(ans+1, ans+ans[0]+1) - (ans+1);
    for(int i = 1; i <= len; i++)   printf("%d\n", ans[i]);
    return 0;
}