matlab常用数值算法合集
给大家整理了数值计算方法中的一些常用算法的Matlab源码，希望对大家有所帮助
说明：这些程序都是脚本函数，不可直接运行，需要创建函数m文件，保存时文件名必须与函数名相同，懂一点儿Matlab的朋友应该知道。每个程序的说明里面都附了测试例子
这些程序在Vista操作系统下，使用Matlab R2008b(7.7版本)编写
1、Newdon迭代法求解非线性方程
function [x k t]=NewdonToEquation(f,df,x0,eps)
%牛顿迭代法解线性方程
%[x k t]=NewdonToEquation(f,df,x0,eps)
%x:近似解
%k:迭代次数
%t:运算时间
%f:原函数，定义为内联函数
%Df:函数的倒数，定义为内联函数
%x0:初始值
%eps:误差限
%
%应用举例：
%f=inline('x^3+4*x^2-10');
%df=inline('3*x^2+8*x');
%x=NewdonToEquation(f,df,1,0.5e-6)
%[x k]=NewdonToEquation(f,df,1,0.5e-6)
%[x k t]=NewdonToEquation(f,df,1,0.5e-6)
%函数的最后一个参数也可以不写。默认情况下，eps=0.5e-6
%[x k t]=NewdonToEquation(f,df,1)
if nargin==3
eps=0.5e-6;
end
tic;
k=0;
while 1
x=x0-f(x0)./df(x0);
k=k+1;
if abs(x-x0) < eps || k ==30
break;
end
x0=x;
end
t=toc;
if k == 30
disp('迭代次数太多。');
x=' ';
end
2、Newdon迭代法求解非线性方程组
function y=NewdonF(x)
%牛顿迭代法解非线性方程组的测试函数
%定义是必须定义为列向量
y(1,1)=x(1).^2-10*x(1)+x(2).^2+8;
y(2,1)=x(1).*x(2).^2+x(1)-10*x(2)+8;
return;
function y=NewdonDF(x)
%牛顿迭代法解非线性方程组的测试函数的导数
y(1,1)=2*x(1)-10;
y(1,2)=2*x(2);
y(2,1)=x(2).^+1;
y(2,2)=2*x(1).*x(2)-10;
return;
以上两个函数仅供下面程序的测试
function [x k t]=NewdonToEquations(f,df,x0,eps)
%牛顿迭代法解非线性方程组
%[x k t]=NewdonToEquations(f,df,x0,eps)
%x:近似解
%k:迭代次数
%t:运算时间
%f:方程组（事先定义）
%df:方程组的导数（事先定义）
%x0:初始值
%eps:误差限
%
%说明：由于虚参f和df的类型都是函数，使用前需要事先在当前目录下采用函数M文件定义
% 另外在使用此函数求解非线性方程组时，需要在函数名前加符号“@”，如下所示
%
%应用举例：
%x0=[0,0];eps=0.5e-6;
%x=NewdonToEquations(@NewdonF,@NewdonDF,x0,eps)
%[x k]=NewdonToEquations(@NewdonF,@NewdonDF,x0,eps)
%[x k t]=NewdonToEquations(@NewdonF,@NewdonDF,x0,eps)
%函数的最后一个参数也可以不写。默认情况下，eps=0.5e-6
%[x k t]=NewdonToEquations(@NewdonF,@NewdonDF,x0,eps)
if nargin==3
eps=0.5e-6;
end
tic;
k=0;
while 1
x=x0-inv(df(x0))*f(x0);%此处可采用其他方法避免求逆
k=k+1;
if norm(x-x0) < eps || k == 15
break;
end
x0=x;
end
t=toc;
if k == 15
disp('迭代次数太多。');
x=' ';
end
3、Lagrange插值法
提供两个程序，采用了不同的方法
function f=InterpLagrange(x,y,x0)
%构造Lagrange插值多项式
%此函数中借助向量卷积来求Lagrange基函数，运算速度较快
%f=InterpLagrange(x,y,x0)
%f:插值多项式或者是插值多项式在x0处的值
%x:节点
%y:函数值
%x0:某一测试点
%
%调用格式:
%f=InterpLagrange(x,y) 返回插值多项式
%f=InterpLagrange(x,y,x0) 返回插值多项式在点x0处的值
%举例:
%x=[0.32 0.34 0.36];y=[0.314567 0.333487 0.352274];x0=0.33;
%f=InterpLagrange(x,y)
%f=InterpLagrange(x,y,x0)
if length(x)==length(y)
n=length(x);
else
disp('节点个数和函数值个数不同！')
f=' ';
return;
end
p=0;
for i=1:n
l=y(i);
for j=1:n
if j==i
continue;
end
%利用卷积计算Lagrange基函数
l=conv(l,[1 -x(j)]./(x(i)-x(j)));
end
%p是一向量，表示插值多项式的系数
p=p+l;
end
if nargin==3
f=polyval(p,x0);%计算插值多项式在x0处的值
else
f=poly2str(p,'x');%把插值多项式的向量形式转化为插值多项式的符号形式
end
function f=InterpLagrange2(x,y,x0)
%构造Lagrange插值多项式
%此函数中借助符号运算来求Lagrange基函数，运算速度较慢，不推荐此种方法
%f=InterpLagrange2(x,y,x0)
%f:插值多项式或者是插值多项式在x0处的值
%x:节点
%y:函数值
%x0:某一测试点
%
%调用格式:
%f=InterpLagrange2(x,y) 返回插值多项式
%f=InterpLagrange2(x,y,x0) 返回插值多项式在点x0处的值
%举例:
%x=[0.32 0.34 0.36];y=[0.314567 0.333487 0.352274];x0=0.33;
%f=InterpLagrange2(x,y)
%f=InterpLagrange2(x,y,x0)
if length(x)==length(y)
n=length(x);
else
disp('节点个数和函数值个数不同！')
f=' ';
return;
end
syms t;
f=0;
for i=1:n
l=y(i);
for j=1:n
if j==i
continue;
end
l=l*(t-x(j))/(x(i)-x(j));%借助符号运算，计算Lagrange基函数
end
f=f+l;
simplify(f);%化简多项式
if i==n
if nargin==3
f=subs(f,'t',x0);%计算插值多项式f在点x0处的值
else
f=collect(f);%计算插值多项式，展开并合并同类项
f=vpa(f,6);%设置多项式系数的有效数字
end
end
end
4、Newdon插值法
function f=InterpNewdon(x,y,x0)
%Newdon插值多项式
%f=InterpNewdon(x,y,x0)
%f:插值多项式或者是插值多项式在x0处的值
%x:节点
%y:函数值
%x0:某一测试点
%
%调用格式
%f=InterpNewdon(x,y) 返回插值多项式
%f=InterpNewdon(x,y,x0) 返回插值多项式在x0点的值
%应用举例:
%x=[1 2 3 4 5];y=[1 4 7 8 6];x0=6;
%f=InterpNewdon(x,y)
%f=InterpNewdon(x,y,x0)
if length(x)==length(y)
n=length(x);
else
disp('节点个数和函数值个数不同！')
f=' ';
return;
end
A=zeros(n);%初始化差商矩阵
for i=1:n
A(i,1)=y(i);%差商矩阵的第一列是函数值
end
%计算差商矩阵
%差商矩阵中对角线上的元素为Newdon插值多项式的系数
for j=2:n
for i=j:n
A(i,j)=(A(i,j-1)-A(i-1,j-1))/(x(i)-x(i-j+1));
end
end
%求Newdon插值多项式
p=zeros(1,n);
for i=1:n
p1=A(i,i);%差商矩阵对角线上的元素就是Newdon插值多项式的系数
for j=1:i-1
p1=conv(p1,[1 -x(j)]);%计算Newdon插值多项式的基项
end
p1=[zeros(1,n-i),p1];%向量相加，维数必须相同。把向量的元素补齐
p=p+p1;
end
if nargin==3
f=polyval(p,x0);%计算插值多项式在x0处的值
else
f=poly2str(p,'x');%把插值多项式的向量形式转化为插值多项式的符号形式
end
5、基本Guass消去法求解线性方程组
function x=EqtsBasicGuass(A,b)
%基本Guass消去法求解线性方程组Ax=b
%x=EqtsBasicGuass(A,b)
%x:解向量，列向量
%A:线性方程组的矩阵
%b:列向量
%
%应用举例:
%A=[2 2 3;4 7 7;-2 4 5]; b=[3;1;-7];
%x=EqtsBasicGuass(A,b)
%检查输入参数
if size(A,1) ~= size(b,1)
disp('输入参数有误！');
x=' ';
return;
end
%(A|b)
A=[A b];
%消去过程
n=size(A,1);
l=zeros(n);
for k=1:n-1
for i=k+1:n
l(i,k)=A(i,k)/A(k,k);
end
for i=k+1:n
for j=k+1:n+1
A(i,j)=A(i,j)-l(i,k)*A(k,j);
end
for j=1:k
A(i,j)=0;
end
end
end
%回代过程
x=zeros(n,1);
x(n)=A(n,n+1)/A(n,n);
for i=n-1:-1:1
y=0;
for j=i+1:n
y=y+A(i,j)*x(j);
end
x(i)=(A(i,n+1)-y)/A(i,i);
end
return;
6、三角分解法求解线性方程组
function x=EqtsDoolittleLU(A,b)
%Doolittle分解法求解线性方程组Ax=b
%x=EqtsDoolittleLU(A,b)
%x:解向量，列向量
%A:线性方程组的矩阵
%b:列向量
%
%应用举例:
%A=[6 2 1 -1;2 4 1 0;1 1 4 -1;-1 0 -1 3];b=[6;-1;5;-5];
%x=EqtsDoolittleLU(A,b)
%检查输入参数
if size(A,1) ~= size(b,1)
disp('输入参数有误！');
x=' ';
return;
end
%分解
%把L和U的元素存储在A的相应位置上
n=length(b);
for k=1:n
for j=k:n
z=0;
for r=1:k-1
z=z+A(k,r)*A(r,j);
end
A(k,j)=A(k,j)-z;
end
for i=k+1:n
z=0;
for r=1:k-1
z=z+A(i,r)*A(r,k);
end
A(i,k)=(A(i,k)-z)/A(k,k);
end
end
%求解
x=zeros(size(b));
for i=1:n
z=0;
for k=1:i-1
z=z+A(i,k)*x(k);
end
x(i)=b(i)-z;
end
for i=n:-1:1
z=0;
for k=i+1:n
z=z+A(i,k)*x(k);
end
x(i)=(x(i)-z)/A(i,i);
end
return
7、追赶法求解三对角线性方程组
function x=EqtsForwardAndBackward(L,D,U,b)
%追赶法求解三对角线性方程组Ax=b
%x=EqtsForwardAndBackward(L,D,U,b)
%x:三对角线性方程组的解
%L:三对角矩阵的下对角线，行向量
%D:三对角矩阵的对角线，行向量
%U:三对角矩阵的上对角线，行向量
%b:线性方程组Ax=b中的b，列向量
%
%应用举例:
%L=[-1 -2 -3];D=[2 3 4 5];U=[-1 -2 -3];b=[6 1 -2 1]';
%x=EqtsForwardAndBackward(L,D,U,b)
%检查参数的输入是否正确
n=length(D);m=length(b);
n1=length(L);n2=length(U);
if n-n1 ~= 1 || n-n2 ~= 1 || n ~= m
disp('输入参数有误！')
x=' ';
return;
end
%追的过程
for i=2:n
L(i-1)=L(i-1)/D(i-1);
D(i)=D(i)-L(i-1)*U(i-1);
end
x=zeros(n,1);
x(1)=b(1);
for i=2:n
x(i)=b(i)-L(i-1)*x(i-1);
end
%赶的过程
x(n)=x(n)/D(n);
for i=n-1:-1:1
x(i)=(x(i)-U(i)*x(i+1))/D(i);
end
return;
8、主元素的Guass消去法求解线性方程组
function x=EqtsClmnPrimElemGuass(A,b)
%主元素的Guass消去法求解线性方程组Ax=b
%x=EqtsClmnPrimElemGuass(A,b)
%输出参数：x -解向量，列向量
%输入参数：A -线性方程组的矩阵
% b -列向量
%
%应用举例:
%A=[-0.002 2 2;1 0.78125 0;3.996 5.5625 4];
%b=[0.4;1.3816;7.4178];
%x=EqtsClmnPrimElemGuass(A,b)
%检查输入参数
if size(A,1) ~= size(b,1)
disp('输入参数有误！');
x=' ';
return;
end
%(A|b)
A=[A b];
%消去过程
n=size(A,1);
l=zeros(n);
for k=1:n-1
%换行
[a idx1]=max(abs(A(k:n,k)));%寻找绝对值最大的元素的下标
idx1=idx1+k-1;
if idx1 ~= k
for j=1:n+1
c=A(k,j);
A(k,j)=A(idx1,j);
A(idx1,j)=c;
end
end
for i=k+1:n
l(i,k)=A(i,k)/A(k,k);
end
for i=k+1:n
for j=k+1:n+1
A(i,j)=A(i,j)-l(i,k)*A(k,j);
end
for j=1:k
A(i,j)=0;
end
end
end
%回代过程
x=zeros(n,1);
x(n)=A(n,n+1)/A(n,n);
for i=n-1:-1:1
y=0;
for j=i+1:n
y=y+A(i,j)*x(j);
end
x(i)=(A(i,n+1)-y)/A(i,i);
end
return;
9、Euler法求解常微分方程
function outXY=ODEEuler(f,x0,y0,h,PointNum)
%简单欧拉法求解常微分方程dy/dx=f
%outXY=ODEEuler(f,x0,y0,h,PointNum)
%outXY:所取点的横纵坐标。第一列为横坐标，第二列为纵坐标
%f:函数f(x,y)，可利用脚本函数文件事先定义，也可利用内联函数
%x0:初始值的横坐标
%y0:初始值的纵坐标
%h:步长
%PointNum:计算步数，默认为30
%
%应用举例:
%f=inline('y-2*x/y','x','y');
%out=ODEEuler(f,0,1,0.1,10)
if nargin==4
PointNum=30;
end
outXY=zeros(PointNum+1,2);%初始化
outXY(1,1)=x0;
outXY(1,2)=y0;
for i=1:PointNum
outXY(i+1,2)=outXY(i,2)+h*f(outXY(i,1),outXY(i,2));%简单Euler公式
outXY(i+1,1)=outXY(i,1)+h;
end
10、二分法解非线性方程
function [x k t]=DichotomyToEquation(f,a,b,eps)
%使用二分法解非线性方程
%[x k t]=DichotomyToEquation(f,a,b,eps)
%x:近似解
%k:二分次数
%t:运算时间
%f:函数，定义为内联函数
%a,b:区间端点
%eps:误差限
%
%应用举例:
%f=inline('x^3+4*x^2-10');
%x=DichotomyToEquation(f,1,2,0.5e-6)
%[x k]=DichotomyToEquation(f,1,2,0.5e-6)
%[x k t]=DichotomyToEquation(f,1,2,0.5e-6)
%函数的最后一个参数也可以不写，默认情况下，eps=0.5e-6
%[x k t]=DichotomyToEquation(f,1,2)
if nargin==3
eps=0.5e-6;
end
tic;
if f(a)*f(b) > 0
disp('区间太大或在此区间内无零点。');
else
k=0;%记录二分次数
while 1
x=(b+a)/2;
k=k+1;
if abs(x-a) < eps || k == 30
break;
end
if f(a)*f(x) < 0
b=x;
else
a=x;
end
end
t=toc;
x=(b+a)/2;
if k == 30
disp('二分次数太多。');
x=' ';
end
end
return;
11、弦割法求解非线性方程
function [x k t]=ChordsecantToEquation(f,x0,x1,eps)
%弦割法求解非线性方程
%[x k t]=ChordsecantToEquation(f,x0,x1,eps)
%x:近似解
%k:迭代次数
%t:运算时间
%f:原函数，定义为内联函数
%x0,x1:初始值
%eps:误差限
%
%应用举例：
%f=inline('x^3+4*x^2-10');
%x=ChordsecantToEquation(f,1,2,0.5e-6)
%[x k]=ChordsecantToEquation(f,1,2,0.5e-6)
%[x k t]=ChordsecantToEquation(f,1,2,0.5e-6)
%函数的最后一个参数也可以不写，默认情况下，eps=0.5e-6
%[x k t]=ChordsecantToEquation(f,1,2)
if nargin==3
eps=0.5e-6;
end
tic;
k=0;
while 1
x=x1-f(x1)*(x1-x0)./(f(x1)-f(x0));
k=k+1;
if abs(x-x1) < eps || k == 30
break;
end
x0=x1;
x1=x;
end
t=toc;
if k == 30
disp('迭代次数太多。');
x=' ';
end
12、阻尼Newdon法求解非线性方程组
function y=NewdonDampingF(x)
%带阻尼因子的牛顿迭代法测试方程组
y(1,1)=x(1)^2-10*x(1)+x(2)^2+23;
y(2,1)=x(1)*x(2)^2+x(1)-10*x(2)+2;
return;
function y=NewdonDampingDF(x)
%带阻尼因子的牛顿迭代法测试，方程组的Jacobi矩阵
y(1,1)=2*x(1)-10;
y(1,2)=2*x(2);
y(2,1)=x(2)^2+1;
y(2,2)=2*x(1)*x(2)-10;
return;
以上两个函数用于下列函数的测试
function [x k t]=NewdonDampingToEquations(f,df,x0,yita,eps)
%带阻尼因子的Newdon迭代格式求解非线性方程组
%[x k t]=NewdonDampingToEquations(f,df,x0,yita,eps)
%x:近似解
%k:迭代次数
%t:运算时间
%f:方程组
%df:方程组的Jacobi矩阵
%x0:初始值
%yita:阻尼因子，为了克服Jacobi矩阵的奇异性
%eps:误差限
%
%应用举例：
%x0=[2.5;2.5];yita=1e-5;eps=0.5e-6;
%x=NewdonDampingToEquations(@NewdonDampingF,@NewdonDampingDF,x0,yita,eps)
%[x k]=NewdonDampingToEquations(@NewdonDampingF,@NewdonDampingDF,x0,yita,eps)
%[x k t]=NewdonDampingToEquations(@NewdonDampingF,@NewdonDampingDF,x0,yita,eps)
%函数的最后两个参数也可以不写，默认情况下，yita=1e-4;eps=0.5e-6
%[x k t]=NewdonDampingToEquations(@NewdonDampingF,@NewdonDampingDF,x0)
%[x k t]=NewdonDampingToEquations(@NewdonDampingF,@NewdonDampingDF,x0,yita)
if nargin==3
yita=1e-4;
eps=0.5e-6;
end
if nargin==4
eps=0.5e-6;
end
I=eye(size(df(x0)));
tic;
k=0;
while 1
x=x0-inv(df(x0)+yita*I)*f(x0);%此处可采用其他方法避免求逆
k=k+1;
if norm(x-x0) < eps || k == 30
break;
end
x0=x;
end
t=toc;
if k == 30
disp('迭代次数太多。');
x=' ';
end
return;
13、牛顿下山法求解非线性方程组
测试函数见2（Newdon迭代法求解非线性方程组）
function [x k t]=NewdonDescendToEquations(f,df,x0,omiga,eps)
%下降牛顿迭代法求解非线性方程组
%[x k t]=NewdonDescendToEquations(f,df,x0,eps)
%x:近似解
%k:迭代次数
%t:运算时间
%f:方程组
%df:方程组的Jacobi矩阵
%x0:初始值
%omiga:下降因子，通常在区间(0,1)内选择。当omiga=1时，即为Newdon迭代格式
%eps:误差限
%
%应用举例：
%x0=[0;0];eps=0.5e-6;
%x=NewdonDescendToEquations(@NewdonF,@NewdonDF,x0,omiga,eps)
%[x k]=NewdonDescendToEquations(@NewdonF,@NewdonDF,x0,omiga,eps)
%[x k t]=NewdonDescendToEquations(@NewdonF,@NewdonDF,x0,omiga,eps)
%函数的最后两个参数也可以不写，默认情况下，omiga=0.8;eps=0.5e-6
%[x k t]=NewdonDescendToEquations(@NewdonF,@NewdonDF,x0)
%[x k t]=NewdonDescendToEquations(@NewdonF,@NewdonDF,x0,omiga)
if nargin==3
omiga=0.8;
eps=0.5e-6;
end
if nargin==4
eps=0.5e-6;
end
tic;
k=0;
while 1
x=x0-omiga*inv(df(x0))*f(x0);%此处可采用其他方法避免求逆
k=k+1;
if norm(x-x0) < eps || k == 30
break;
end
x0=x;
end
t=toc;
if k >= 30
disp('迭代次数太多。');
x=' ';
end
return;
14、简化牛顿法求解非线性方程组
测试函数见2（Newdon迭代法求解非线性方程组）
function [x k t]=NewdonSimplifyToEquations(f,df,x0,eps)
%简化牛顿格式求解非线性方程组
%[x k t]=NewdonSimplifyToEquations(f,df,x0,eps)
%x:近似解
%k:迭代次数
%t:运算时间
%f:方程组
%df:方程组的Jacobi矩阵
%x0:初始值
%eps:误差限
%
%应用举例：
%x0=[0;0];eps=0.5e-6;
%x=NewdonSimplifyToEquations(@NewdonF,@NewdonDF,x0,eps)
%[x k]=NewdonSimplifyToEquations(@NewdonF,@NewdonDF,x0,eps)
%[x k t]=NewdonSimplifyToEquations(@NewdonF,@NewdonDF,x0,eps)
%函数的最后一个参数也可以不写。默认情况下，eps=0.5e-6
%[x k t]=NewdonSimplifyToEquations(@NewdonF,@NewdonDF,x0)
if nargin==3
eps=0.5e-6;
end
x_const=x0;
tic;
k=0;
A=inv(df(x_const));
while 1
x=x0-A*f(x0);%此处可采用其他方法避免求逆
k=k+1;
if norm(x-x0) < eps || k == 30
break;
end
x0=x;
end
t=toc;
if k == 30
disp('迭代次数太多。');
x=' ';
end
return;
15、逆Broyden秩1方法求解非线性方程组
测试函数见2（Newdon迭代法求解非线性方程组）
function [x k t]=Broyden1InvToEquations(f,df,x0,eps)
%逆Broyden秩1方法求解非线性方程组
%function [x k t]=Broyden1InvToEquations(f,df,x0,eps)
%x:近似解
%k:迭代次数
%t:运算时间
%f:方程组
%df:方程组的Jacobi矩阵
%x0:初始值
%eps:误差限
%
%应用举例：
%x0=[0;0];eps=0.5e-6;
%x=Broyden1InvToEquations(@NewdonF,@NewdonDF,x0,eps)
%[x k]=Broyden1InvToEquations(@NewdonF,@NewdonDF,x0,eps)
%[x k t]=Broyden1InvToEquations(@NewdonF,@NewdonDF,x0,eps)
%函数的最后一个参数也可以不写，默认情况下，eps=0.5e-6
%[x k t]=Broyden1InvToEquations(@NewdonF,@NewdonDF,x0)
if nargin==3
eps=0.5e-6;
end
tic;
k=0;
B0=inv(df(x0));
while 1
x=x0-B0*f(x0);
k=k+1;
if norm(x-x0) < eps || k== 30
break;
end
s=x-x0;
y=f(x)-f(x0);
B=B0+(s-B0*y)*s'*B0/(s'*B0*y);
x0=x;
B0=B;
end
t=toc;
if k == 30
disp('迭代次数太多。');
x=' ';
end
16、Jacobi迭代法求解线性方程组
```c
function [x k]=EqtsJacobi(A,b,x0,eps)
%Jacobi迭代法求解线性方程组Ax=b
%[x k]=EqtsJacobi(A,b,x0,eps)
%x:解向量，列向量
%k:迭代次数
%A:系数矩阵
%b:列向量
%x0:迭代初始值，列向量
%eps:误差限，可缺省，缺省值为0.5e-6
%
%应用举例:
%A=[10 3 1;2 -10 3;1 3 10];b=[14;-5;14];x0=[0;0;0];
%[x k]=EqtsJacobi(A,b,x0,0.5e-6)
%x=EqtsJacobi(A,b,x0)
if nargin==3
eps=0.5e-6;
end
%检查输入参数
n=length(b);
if size(A,1) ~= n || n ~= length(x0)
disp('输入参数有误！');
x=' ';
k=' ';
return;
end
%迭代求解
k=0;
x=zeros(n,1);
while 1
k=k+1;
for i=1:n
z=0;
for j=1:i-1
z=z+A(i,j)*x0(j);
end
for j=i+1:n
z=z+A(i,j)*x0(j);
end
x(i)=(b(i)-z)/A(i,i);
end
if norm(x-x0)<=eps || k==30
break;
end
x0=x;
end
if k==30
disp('迭代次数太多！')
x=' ';
end
return;
17、Guass-Seidel迭代法求解线性方程组
function [x k]=EqtsGS(A,b,x0,eps)
%Guass-Seidel迭代法求解线性方程组Ax=b
%[x k]=EqtsGS(A,b,x0,eps)
%x:解向量，列向量
%k:迭代次数
%A:系数矩阵
%b:列向量
%x0:迭代初始值，列向量
%eps:误差限，可缺省，缺省值为0.5e-6
%
%应用举例:
%A=[10 3 1;2 -10 3;1 3 10];b=[14;-5;14];x0=[0;0;0];
%[x k]=EqtsGS(A,b,x0,0.5e-6)
%x=EqtsGS(A,b,x0)
if nargin==3
eps=0.5e-6;
end
%检查输入参数
n=length(b);
if size(A,1) ~= n || n ~= length(x0)
disp('输入参数有误！');
x=' ';
k=' ';
return;
end
%迭代求解
k=0;
x=zeros(n,1);
while 1
k=k+1;
for i=1:n
z=0;
for j=1:i-1
z=z+A(i,j)*x(j);
end
for j=i+1:n
z=z+A(i,j)*x0(j);
end
x(i)=(b(i)-z)/A(i,i);
end
if norm(x-x0)<=eps || k==30
break;
end
x0=x;
end
if k==30
disp('迭代次数太多！')
x=' ';
end
return;
ps:其实这段程序与Jacobi迭代法的程序相比，只修改了一个字母，不过，收敛速度却有明显提高
16、超松弛（SOR,Successive Over-Relaxation）迭代法求解线性方程组
function [x k]=EqtsSOR(A,b,x0,omiga,eps)
%超松弛（SOR,Successive Over-Relaxation）迭代法求解线性方程组Ax=b
%[x k]=EqtsSOR(A,b,x0,eps)
%x:解向量，列向量
%k:迭代次数
%A:系数矩阵
%b:列向量
%x0:迭代初始值，列向量
%omiga:松弛因子，可缺省，缺省值为1，即为GS迭代法
%eps:误差限，可缺省，缺省值为0.5e-6
%
%应用举例:
%A=[4 3 0;3 4 -1;0 -1 4];b=[24;30;-24];x0=[1;1;1];omiga=1.25;
%[x k]=EqtsSOR(A,b,x0,omiga,0.5e-6)
%x=EqtsSOR(A,b,x0)
if nargin==4
eps=0.5e-6;
end
if nargin==3
omiga=1;
eps=0.5e-6;
end
%检查输入参数
n=length(b);
if size(A,1) ~= n || n ~= length(x0)
disp('输入参数有误！');
x=' ';
k=' ';
return;
end
%迭代求解
k=0;
x=zeros(n,1);
while 1
k=k+1;
for i=1:n
z=0;
for j=1:i-1
z=z+A(i,j)*x(j);
end
for j=i+1:n
z=z+A(i,j)*x0(j);
end
x(i)=(1-omiga)*x0(i)+omiga*(b(i)-z)/A(i,i);
end
if norm(x-x0)<=eps || k==30
break;
end
x0=x;
end
if k==30
disp('迭代次数太多！')
x=' ';
end
return;
17、复化梯形公式求积分
function y=IntF(x)
%求积公式的测试函数，被积函数
y=3^x;
return;
function y=IntD2F(x)
%求积公式被积函数的二次导数的相反值
y=-log(3)*log(3)*3^x;
return;
function y=IntD4F(x)
%求积公式被积函数的四次导数的相反值
y=-(log(3))^4*3^x;
return;
以上几个函数用于下列函数的测试
function [T n]=IntCompTrape(f,D2f,a,b,eps)
%复化梯形公式求积分
%[T n]=IntCompTrape(f,D2f,a,b,eps)
%T:求积结果
%n:区间等分数
%f:被积函数，可利用函数脚本文件事先定义，也可以利用内联函数
%D2f:被积函数的二次导数的相反值，可利用函数脚本文件事先定义，也可以利用内联函数
% 取相反值是为了便于计算被积函数的二次导数在区间[a,b]上的最大值
%a:积分下限
%b:积分上限
%eps:误差限
%
%应用举例:
%事先定义
%[T n]=IntCompTrape(@IntF,@IntD2F,0,1)
%[T n]=IntCompTrape(@IntF,@IntD2F,0,1,0.5e-7)
%利用内联函数
%F=inline('3^x');D2F=inline('-(log(3))^2*3^x');
%[T n]=IntCompTrape(F,D2F,0,1)
if nargin==4
eps=0.5e-7;%默认精度
end
%求被积函数的二次导数在区间[a,b]上的最大值
[x,fval]=fminbnd(D2f,a,b,optimset('TolX',eps/10));
fmax=-fval;
%计算等分区间数
n=ceil(sqrt(abs(fmax*(b-a)^3/12/eps)));
h=(b-a)/n;%步长
T=f(a)+f(b);
for k=1:n-1
x1=a+k*h;
T=T+2*f(x1);
end
T=h*T/2;
return;
18、复化Simpson公式求积分
测试函数见17
function [S n]=IntCompSimpson(f,D4f,a,b,eps)
%复化辛普森公式求积分
%[S n]=IntCompSimpson(f,D4f,a,b,eps)
%S:数值求积结果
%n:区间等分数
%f:被积函数，可利用函数脚本文件事先定义，也可以利用内联函数
%D4f:被积函数的四次导数的相反值，可利用函数脚本文件事先定义，也可以利用内联函数
% 取相反值是为了便于计算被积函数的四次导数在区间[a,b]上的最大值
%a:积分下限
%b:积分上限
%eps:误差限
%
%应用举例:
%事先定义
%[T n]=IntCompSimpson(@IntF,@IntD4F,0,1)
%[S n]=IntCompSimpson(@IntF,@IntD4F,0,1,0.5e-7)
%利用内联函数
%F=inline('3^x');D4F=inline('-(log(3))^4*3^x');
%[S n]=IntCompSimpson(F,D4F,0,1)
if nargin==4
eps=0.5e-7;%默认精度
end
%求被积函数的四次导数在区间[a,b]上的最大值
[x,fval]=fminbnd(D4f,a,b,optimset('TolX',eps/10));
fmax=-fval;
%计算等分区间数
n=ceil(sqrt(sqrt(abs((b-a)^5*fmax/16/180/eps))));
h=(b-a)/n;%步长
S=f(a)+f(b)+4*f(a+h/2);
for k=1:n-1
x1=a+k*h;
x2=x1+h/2;
S=S+4*f(x2)+2*f(x1);
end
S=S*h/6;
return;
19、Romberg积分法
function [R T k]=IntRomberg(f,a,b,eps)
%Romberg积分法
%[R T step]=IntRomberg(f,a,b,eps)
%R:积分结果
%T:Romberg积分表
%k:二分区间的次数
%f:积分函数，可采用内联函数，也可事先采用函数脚本文件定义
%a:积分下限
%b:积分上限
%eps:误差限，可缺省，缺省值为0.5e-6
%
%应用举例：
%f=inline('sin(x)/x');
%[R T k]=IntRomberg(f,0.5e-12,1,0.5e-6)
%R=IntRomberg(f,0.5e-12,1)
%这里计算的实际上是f在区间[0,1]上的积分，但是f(x)在x=0时，matlab计算不出来，我们取一个较小的数值(0.5e-12)代替它
if nargin==3
eps=0.5e-6;
end
T=zeros(1,1);
k=0;
M=1;
h=b-a;
T(1,1)=(f(a)+f(b))*h/2;
while 1
k=k+1;
h=h/2;
z=0;
for i=1:M
x=a+h*(2*i-1);
z=z+f(x);
end
T(k+1,1)=T(k,1)/2+h*z;
M=2*M;
for j=1:k
T(k+1,j+1)=T(k+1,j)+(T(k+1,j)-T(k,j))/(4^j-1);
end
if abs(T(k+1,k+1)-T(k,k)) <= eps || k == 10
break;
end
end
R=T(k+1,k+1);
if k==10
disp('二分次数太多，收敛太慢！')
T=' ';
R=' ';
end
return;
20、改进的Euler法（预报-校正格式）求解常微分方程
function outXY=ODEImprovedEuler(f,x0,y0,h,PointNum)
%改进的欧拉法求解常微分方程
%outXY=ODEImprovedEuler(f,x0,y0,h,PointNum)
%outXY:所取点的横纵坐标。第一列为横坐标，第二列为纵坐标
%f:函数f(x,y)，可利用脚本函数文件事先定义，也可利用内联函数
%x0:初始值的横坐标
%y0:初始值的纵坐标
%h:步长
%PointNum:计算步数，默认为30
%
%应用举例:
%f=inline('y-2*x/y','x','y');
%outXY=ODEImprovedEuler(f,0,1,0.1,10)
if nargin==4
PointNum=30;
end
outXY=zeros(PointNum+1,2);%初始化
outXY(1,1)=x0;
outXY(1,2)=y0;
for i=1:PointNum
y1=outXY(i,2)+h*f(outXY(i,1),outXY(i,2));%预报公式
outXY(i+1,1)=outXY(i,1)+h;
outXY(i+1,2)=outXY(i,2)+h*(f(outXY(i,1),outXY(i,2))+f(outXY(i+1,1),y1))/2;%校正公式
end
return;
21、四阶经典Runge-Kutta方法求解常微分方程
function outXY=ODERK(f,x0,y0,h,PointNum)
%经典四阶Runge-Kutta方法求解常微分方程
%outXY=ODERK(f,x0,y0,h,PointNum)
%outXY:所取点的横纵坐标。第一列为横坐标，第二列为纵坐标
%f:函数f(x,y)，可利用脚本函数文件事先定义，也可利用内联函数
%x0:初始值的横坐标
%y0:初始值的纵坐标
%h:步长
%PointNum:计算步数，默认为30
%
%应用举例:
%f=inline('y-2*x/y','x','y');
%outXY=ODERK(f,0,1,0.1,10)
if nargin==4
PointNum=30;
end
outXY=zeros(PointNum+1,2);%初始化
outXY(1,1)=x0;
outXY(1,2)=y0;
for i=1:PointNum
k1=f(outXY(i,1),outXY(i,2));
k2=f(outXY(i,1)+h/2,outXY(i,2)+h*k1/2);
k3=f(outXY(i,1)+h/2,outXY(i,2)+h*k2/2);
k4=f(outXY(i,1)+h,outXY(i,2)+h*k3);
outXY(i+1,2)=outXY(i,2)+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
outXY(i+1,1)=outXY(i,1)+h;
end
return;