【题目链接】
【题目考点】
1. 高精度
- 高精乘高精
2. 枚举
【解题思路】
解法1：枚举
由于题目中说了，x不大于20，所以只需要枚举20以内的x，看取哪一个x时满足 a x ≤ b < a x + 1 a^x\le b < a^{x+1} ax≤b<ax+1即可。
这里需要高精度数字比较、高精度乘高精度。
a最多100位，x最高20，得到的数字 a x + 1 a^{x+1} ax+1最大不会超过2100位。
记n为数字a的位数，该算法复杂度为： O ( n x + 1 ) O(n^{x+1}) O(nx+1)
解法2：二分
假设x可以很大，那么需要用二分查找来确定x的值。使用快速幂来求 a x a^x ax。
设l为1，r为20，每次循环取到中点m。
- 如果 a m + 1 ≤ b a^{m+1} \le b am+1≤b，说明m取小了，l应该右移。
- 如果 b < a m b < a^m b<am，说明m取大了，r应该左移。
- 如果 a m ≤ b < a m + 1 a^m\le b < a^{m+1} am≤b<am+1，说明找到了目标数值。
该算法的复杂度为 O ( l o g x ⋅ l o g x ⋅ n ) O(logx\cdot logx\cdot n) O(logx⋅logx⋅n)
【题解代码】
解法1：枚举
- C风格：数组、函数
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 2105
void toNum(char s[], int a[])
{
a[0] = strlen(s);
for(int i = 1; i <= a[0]; ++i)
a[i] = s[a[0]-i] - '0';
}
void numCpy(int a[], int b[])
{
for(int i = 0; i <= b[0]; ++i)
a[i] = b[i];
}
void multi(int a[], int b[])//a *= b
{
int r[N] = {
};
for(int i = 1; i <= a[0]; ++i)
{
int c = 0;
for(int j = 1; j <= b[0]; ++j)
{
r[i+j-1] += c + a[i] * b[j];
c = r[i+j-1] / 10;
r[i+j-1] %= 10;
}
r[b[0]+i] += c;
}
int ri = a[0] + b[0];
while(r[ri] == 0 && ri > 1)
ri--;
r[0] = ri;
numCpy(a, r);
}
int numCmp(int a[], int b[])
{
if(a[0] > b[0])
return 1;
else if(a[0] < b[0])
return -1;
else
{
for(int i = a[0]; i >= 1; --i)
{
if(a[i] > b[i])
return 1;
else if(a[i] < b[i])
return -1;
}
return 0;
}
}
char s1[N], s2[N];
int a[N], b[N], l[N], r[N];//l：左边的数 r：右边的数
int main()
{
cin >> s1 >> s2;
toNum(s1, a);
toNum(s2, b);
r[0] = 1, r[1] = 1;//r赋值为1
for(int x = 0; x <= 20; ++x)
{
numCpy(l, r);//l = r
multi(r, a);//r *= a
if(numCmp(b, l) >= 0 && numCmp(r , b) > 0)//b >= l && r > b
{
cout << x;
return 0;
}
}
return 0;
}
- C++风格：高精度数字类
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 2105
struct HPN
{
int a[N];
HPN()
{
memset(a, 0, sizeof(a));
}
HPN(string s)
{
memset(a, 0, sizeof(a));
a[0] = s.length();
for(int i = 1; i <= a[0]; ++i)
a[i] = s[a[0]-i] - '0';
}
int& operator [] (int i)
{
return a[i];
}
void operator *= (HPN b)//高精乘高精
{
HPN r;
for(int i = 1; i <= a[0]; ++i)
{
int c = 0;
for(int j = 1; j <= b[0]; ++j)
{
r[i+j-1] += c + a[i] * b[j];
c = r[i+j-1] / 10;
r[i+j-1] %= 10;
}
r[b[0]+i] += c;
}
int ri = a[0] + b[0];
while(r[ri] == 0 && ri > 1)
ri--;
r[0] = ri;
*this = r;
}
int numCmp(int a[], int b[])
{
if(a[0] > b[0])
return 1;
else if(a[0] < b[0])
return -1;
else
{
for(int i = a[0]; i >= 1; --i)
{
if(a[i] > b[i])
return 1;
else if(a[i] < b[i])
return -1;
}
return 0;
}
}
bool operator >= (HPN b)
{
return numCmp(a, b.a) >= 0;
}
bool operator > (HPN b)
{
return numCmp(a, b.a) > 0;
}
};
int main()
{
string s1, s2;
cin >> s1 >> s2;
HPN a(s1), b(s2), l, r("1");
for(int x = 0; x <= 20; ++x)
{
l = r;
r *= a;
if(b >= l && r > b)
{
cout << x;
return 0;
}
}
return 0;
}
解法2：二分
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 2105
struct HPN
{
int a[N];
HPN()
{
memset(a, 0, sizeof(a));
}
HPN(string s)
{
memset(a, 0, sizeof(a));
a[0] = s.length();
for(int i = 1; i <= a[0]; ++i)
a[i] = s[a[0]-i] - '0';
}
int& operator [] (int i)
{
return a[i];
}
void setLen(int i)//确定数字位数
{
while(a[i] == 0 && i > 1)
i--;
a[0] = i;
}
HPN operator * (HPN b)//r = a * b
{
HPN r;
for(int i = 1; i <= a[0]; ++i)
{
int c = 0;
for(int j = 1; j <= b[0]; ++j)
{
r[i+j-1] += a[i]*b[j] + c;
c = r[i+j-1] / 10;
r[i+j-1] %= 10;
}
r[i+b[0]] += c;
}
r.setLen(a[0] + b[0]);
return r;
}
HPN operator ^ (int b)//快速幂 求a^b
{
HPN c = *this, r("1");
while(b > 0)
{
if(b % 2 == 1)
r = r * c;//高精乘高精
c = c * c;//高精乘高精
b /= 2;
}
return r;
}
int numCmp(int a[], int b[])
{
if(a[0] > b[0])
return 1;
else if(a[0] < b[0])
return -1;
else
{
for(int i = a[0]; i >= 1; --i)
{
if(a[i] > b[i])
return 1;
else if(a[i] < b[i])
return -1;
}
return 0;
}
}
bool operator >= (HPN b)
{
return numCmp(a, b.a) >= 0;
}
bool operator < (HPN b)
{
return numCmp(a, b.a) < 0;
}
};
int main()
{
string s1, s2;
cin >> s1 >> s2;
HPN a(s1), b(s2);
int l = 0, r = 20, m;
while(l <= r)
{
m = (l + r) / 2;
if(b >= (a^(m+1)))//注意：^运算符优先级比关系运算符低
l = m + 1;
else if(b < (a^m))
r = m - 1;
else
{
cout << m;
return 0;
}
}
return 0;
}