一套有趣的期权套利题目

一套有趣的期权套利题目 – 潘登同学的金融经济学笔记

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前几天在刷视频的时候，发现了这样一道题

出题人给出的解法

因为期权的现金流是个凸函数，

$$\begin{gathered} K=40，50，70 \\ V(K)=10,20,30 \\ 50=\frac{2}{3}40+\frac{1}{3}70 \\ 20=V(50)\ge \frac{2}{3}V(40)+\frac{1}{3}V(70)=16.67 \\ 存在套利空间，卖出3个50，买入2个40，1个70 \end{gathered}$$

但是出题人这样任意取$\frac{2}{3}$和$\frac{1}{3}$的做法，不一定令人信服，但是本质上想让线性部分的现金流加和相等的思想是可取的(即买入与卖出的两个资产组合的现金流相等，进而相互抵消)

将三个期权的现金流，与组合的现金流画在图上则是

可以看到在价格小于等于40的时候，组合的现金流是平稳的，这就是线性部分现金流抵消的思想；

我的解法

作为一名严谨的金融学者，肯定不能这样盲目地定下$\frac{2}{3}$和$\frac{1}{3}$的比例；

根据无套利定价思想，如果存在套利机会，构造一个资产组合,则必有
$$\begin{array}{rl}\pi & =a{f}_a+b{f}_b+c{f}_c\\ & =a(\max (40-x,0)-10)+b(\max (50-x,0)-20)+c(\max (70-x,0)-30)\ge 0\end{array}$$
其中，等于号不恒成立； 将上式写成分段函数
$$\begin{gathered} \{\begin{array}{ll}a(30-x)+b(30-x)+c(40-x)\ge 0,& x\le 40\\ -10a+b(30-x)+c(40-x)\ge 0,& 40<x\le 50\\ -10a+-20b+c(40-x)\ge 0,& 50<x\le 70\\ -10a+-20b-30c\ge 0,& 70<x\end{array} \\ \Rightarrow \{\begin{array}{ll}(a+b+c)x\le 30a+30b+40c,& x\le 40\\ (a+b)x\le -10a+30b+40c,& 40<x\le 50\\ cx\le -10a-20b+40c,& 50<x\le 70\\ a+2b+c\le 0,& 70<x\end{array} \end{gathered}$$
观察上式，可以看到不等式右边都是参数，而不等式左边都是一次型函数(除了最后一条不等式)； 假设给定$a,b,c$下，那么不等式右边值确定，不等式左边的单调性也随之确定； 因为不等式左边要么单调增，要么单调减，所以将边界带进去，如果边界值满足，那么所有值都满足，进而
$$\{\begin{array}{l}0\le 30a+30b+40c\\ 0\le -10a-10b\\ 0\le -50a-10b+40c\\ 0\le -60a-20b+40c\\ 0\le -10a-20b-10c\\ 0\le -10a-20b-30c\end{array}$$
显然这是一个三维的线性规划，比较难解，但是因为$a,b,c$只是比例，不是具体数，设$a=1$，将问题转化为二维的线性规划
$$\{\begin{array}{l}0\le 3+3b+4c\\ 0\le -5-b+4c\\ 0\le -3-b+2c\\ 0\le -1-2b-c\\ 0\le -1-2b-3c\\ b\le 0\end{array}$$
将不等号变为等号，画在图中

根据各个线与0的关系，能在图中找到解空间，那么这个解空间就是可供套利的比例选择，注意并非只有一种套利的比例选择；

写为数学表达则为
$$\{\begin{array}{l}0\le -1-2b-3c\\ 0\le -5-b+4c\\ 0\le 3+3b+4c\end{array}$$

在这个解集中，随便找一个比例$a=1,b=-3,c=1.6$,画出组合现金流

所以说，是不是我的解法比较严谨，套利不再那么神乎其神，只是在数学本质外的面纱而已！！！