周期信号傅里叶变换
01 第七次作业
一、习题简介
在第七次作业中， 有一个求取三个周期信号频谱的习题。 包括求取全波整流信号的频谱。 求取周期梯形信号的频谱。 最后一个严格意义上来说还不是周期信号， 而是两个三角周期信号的乘积。 下面我们讨论一下这道习题的求解思路。
二、习题求解
1、周期信号的离散频谱
对于一个周期信号， 如果取其单个周期信号 进行傅里叶变换， 得到一个连续频谱。 将单个周期进行周期延拓。 便可以形成周期信号。 周期信号的角频率为 omega1， 周期信号的频谱就只就有离散点的频谱， 出现在 omega1 的整数倍数上， 每个都是冲击频谱。 这些冲击频谱的强度与 F0 omega 在 n omega1 处的取值成正比。 这是周期信号的离散频谱。 这反映了时域信号的周期化， 与其频谱的离散化之间的对偶关系。 下面利用这个关系写出习题中的信号频谱。
▲ 图1.3.1 周期信号的离散频谱
2、第一小题
第一小题，是一个周期全波整流信号， 作业中已经给出了它的一个周期内， 半波余弦信号的频谱， 这个表达式可以通过傅里叶变换测性质方便求出。 下面考虑到整个周期信号， 就是将上面连续频谱进行离散化。 去 F omega 在 n omega1 处的取值， 然后形成冲激频谱。 这里直接写出对应的表达式。 这就是第一小题，全波整流周期信号的离散频谱。 使用这种方法获得周期信号频谱比较方便。
▲ 图1.2.2 周期全波整流信号的频谱
3、第三小题
下面看一下第三小题， 这个习题与第一个本质是一样的， 习题也给了出单个对称梯形信号的频谱。 将它进行离散化，便得到了周期梯形信号的离散频谱了。 这是第三小题的答案。
▲ 图1.2.3 第三小题的答案
4、第二小题
最后在讨论一下第二小题， 这个信号本质上不是周期信号。 它实际上是一个在周期三角信号上乘以一个三角信号， 是一个幅度调制过程。 只不过这里的载波是一个周期三角信号。 所以这个信号可以描述成两个信号的乘积。 一个是非周期的三角信号， 另外一个是周期三角信号。 相乘之后便得到调幅三角信号。 根据傅里叶变换频域卷积定理， 它的频谱是 f1, f2 频谱的卷积。 对于 f1 来说，根据它的波形参数 可以写出它的频谱。 周期信号 f2 的频谱稍微麻烦一些。 它可以看成单个三角脉冲信号周期延拓制后形成的周期信号。 对于这个窄的三角信号， 写出它的频谱。 周期延拓形成周期信号。 对应的频谱是其连续频谱的离散化。 注意，最后还需要减去 2 Pi delta omega 。 这是因为实际的三角周期信号还需要再减去一个直流分量。 这里给出了 f2(t) 的频谱。 看起来挺唬人的。 将其进行化简， 去掉直流分量之后， 实际上在这个级数中， 将 n 等于 0 的那一项去除了。 到此为止， 我们有了 f1，f2 信号的频谱。 下面将它们进行卷积， 便得到调制信号的频谱了。 将 F1 omega 代入级数累加号中， 它与 delta omega 进行卷积， 实际上就是将它进行搬移。 代入它的表达式， 最终得到卷积后的频谱。 请大家注意， 这个频谱中没有冲激信号， 反应了一个被调制后的三角信号。 这个分析过程中的原理，将来还会应用到信号采样以及信号调制过程中。
▲ 图1.2.4 第二小题的答案
※ 总 结 ※
本文讨论了周期信号频谱的计算方法， 时域周期化 与频谱离散化是一对对应关系。
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