【Leetcode剑指 Offer II 091】粉刷房子（动态规划 | 滚动数组）

一、题目

二、思路

（1）确定状态：
已知不同房子刷成不同颜色的价格矩阵cost，加上这种只需要求出【最值】的题目经常使用dp；因为每个房子能刷成三种颜色，即三种状态，加上不同的房子位置这个维度，可以令$dp[j][i]$二维数组（其中j取值为0,1,2）表示：第$i$个房子粉刷为颜色j，并且这前i个房子的粉刷情况都是符合题意时，这i个房子所需要的最少话费成本。

（2）状态转移方程$$\begin{array}{rl}dp[i][0]& =\min (dp[i-1][1],dp[i-1][2])+\mathrm{costs}[i][0]\\ dp[i][1]& =\min (dp[i-1][0],dp[i-1][2])+\mathrm{costs}[i][1]\\ dp[i][2]& =\min (dp[i-1][0],dp[i-1][1])+\mathrm{costs}[i][2]\end{array}$$神奇的是三个方程可以通过求余方法合为一个：$$dp[i][j]=\min (dp[i-1][(j+1)\mathrm{mod}3],dp[i-1][(j+2)\mathrm{mod}3])+\mathrm{costs}[i][j]$$计算到最后一个房子时，即$dp[n-1][j]$数组的三个数的最小值为按规矩粉刷房子的最小总成本。因为当$i\ge 1$时，$dp[i]$的计算只和$dp[i-1]$有关，所以可以使用【滚动数组】优化计算复杂度，这个滚动数组即大小为颜色种类数。

（3）初始状态 + 边界情况
第0个房子左边木有房子，直接赋值当前房子的三种初值，$dp[k]=costs[0][k]$。

（4）遍历顺序：i和j都是从小到大遍历。

三、cpp代码

class Solution {
    
    
public:
    int minCost(vector<vector<int>>& costs) {
    
    
        int n = costs.size();
        vector<int>dp(3);
        //初始条件赋值
        for(int k = 0; k < 3; k++){
    
    
            dp[k] = costs[0][k];
        }
        //状态转移方程
        for(int i = 1; i < n; i++){
    
    
            vector<int> temp_vec(3);
            for(int j = 0; j < 3; j++){
    
    
                temp_vec[j] = min(dp[(j+1)%3], dp[(j+2)%3]) + costs[i][j];
            }
            dp = temp_vec;
        }
        auto ans_it = min_element(dp.begin(), dp.end());
        return *ans_it;
    }
};

四、Python代码

class Solution:
    def minCost(self, costs: List[List[int]]) -> int:
        # 赋值数组，简洁
        dp = costs[0]
        for i in range(1, len(costs)):
            temp_dp = []
            for j in range(3):
                temp_dp.append(min(dp[(j+1)%3], dp[(j+2)%3]) + costs[i][j])
            dp = temp_dp
        return min(dp)