简 介： 本文提出了一种利用模拟运算电路，在示波器上绘制特定图形的通用方法。通过设计极坐标方程和模拟电路，将特定函数的图像转换为X-Y信号的极坐标形式，并在直角坐标系下显示。并通过Multisim仿真软件的电路实例验证了该方法的可行性，绘制了笛卡尔心脏线、改进的玫瑰线和心形曲线等图形。其中，心形线绘制电路具有综合性，有着重要意义。
关键词： 示波器，模拟运算电路，极坐标，特定函数图像，X-Y通道，电路设计，Multisim仿真
01 引 言
示波器是一种常用的电子测试仪器，可以用于观测和分析信号波形。通常情况下，示波器可以在直角坐标系下显示信号的波形，但通过利用示波器的X-Y通道，我们可以观测到两个信号波形在直角坐标系下构成的图形。
为了设计特定函数的图像，本文提出了一种利用模拟运算电路的方法，能够方便地在示波器上绘制特定的图形。该方法首先基于极坐标形式设计函数的方程，然后利用模拟运算放大电路的模拟乘法器、求和放大电路等基本单元，通过直接运算或逆函数法实现极角向极径的转换。
在转换完成后，利用模拟乘法器将极角与极径转换为X和Y信号的极坐标形式。最后，通过将这些极坐标形式的信号输入示波器的X-Y通道，我们可以在直角坐标系下绘制出X和Y信号构成的图像，展示出所设计的特定图形。
为了验证该方法的实用性，本文还利用Multisim仿真软件设计了几个电路实例，绘制了笛卡尔心脏线、改进的玫瑰线和心形曲线等图形。这些实例展示了该方法在绘制不同特定函数图像方面的能力，并证明了该方法的有效性。心形曲线的绘制使用了较多模拟运算电路的环节，是本文的核心设计，通过该例可以看到该方法稳健的实用性。
综上所述，本文提出的利用模拟运算电路，在示波器上绘制特定图形的通用方法为我们提供了一种便捷的工具。通过该方法，我们可以通过设计合适的极坐标方程和模拟电路，将特定函数图形的图像直接呈现在示波器上，为信号处理、电路设计和教学等领域提供了一种新的实用手段。
02 设计方法
2.1 概述
信号图形绘制是利用示波器将信号显示在显示屏上，利用示波器的X-Y通道则可以绘制两个信号构成的平面图形，因此，可以设计电路来把目标函数绘制在示波器上。一般来说，两个信号构成的闭合图形适合利用X-Y通道进行展示，否则Y信号与X信号对应关系可能无限延申，故本文研究两信号构成的闭合图形的绘制电路。假如给定方程 f(x, y)=0，则在一般条件下可以将该方程的图形作出，因此可以通过x,y信号满足的方程来构造两信号，从而绘制出方程代表的曲线。为达到这一目的，本文提出了利用模拟运算电路来进行加工获得目标信号图形的通用方法。
本文提出的方法基于对于目标平面图形满足的方程的极坐标分解，可以高效设计电路从而绘制出信号图形。
▲ 图2.1.1 信号图形绘制电路的基本框架结构
如上图所示，即为进行封闭信号图形的绘制的电路的设计的通用框架。我们有，一个封闭图形的极坐标表达式如下：
首先，利用输入正弦信号通过相位提前环节或者直接使用余弦信号获得极坐标分解下重要的环节sinθ, cosθ信号，其中θ = ωt是正弦信号余弦信号的相位。然后，通过一定的运算关系，即函数运算单元，可以把输入信号进行变换，得到极径信号ρ。最后，通过两个乘法器，分别进行ρcosθ与ρsinθ运算，就可以获得x信号与y信号。此时，通过示波器的X-Y显示模式，就可以看到目标信号图形出现在显示屏上了。
2.2 函数运算单元的设计
通过分析该信号图形的绘制方法的过程，可以从中看到最复杂的环节便是函数运算单元的设计，这个环节是该电路能否正确画出目标信号的核心环节。其实函数运算单元可以根据封闭图形的函数形式分为两类，即具有显式极坐标方程的简单模型和不具有显式极坐标方程的复杂模型。下面来一一介绍针对这两种不同模型的函数运算单元的设计方法。
2.2.1 简单模型-显式方程法
当目标函数图形的极坐标表达式可以显式地写为下式时，
便可以采用显式方程直接构造法，使用基本的可以实现四则运算的运算电路来直接构造ρ。如，对于圆形曲线的绘制，其极坐标方程为ρ = R即ρ为一个常量，便可以直接使用一个直流信号来作为ρ,然后进一步地利用模拟乘法器来构造x, y信号。这种方法简易直观，易于实现，并且幸运地是，有相当大一部分的函数图形都可以显式地表达成极坐标方程的形式，甚至有书籍专门记录这些优美的极坐标曲线。
2.2.2 解决复杂闭合图形的方法-逆函数电路法
对于一些复杂的闭合图形，他们的极坐标表达式可能没有显式的解，因此必须通过加入逆函数环节电路，来利用逆函数来获得ρ。如心型曲线的直角坐标表达式为 ( x 2 + y 2 − 1 ) 3 − x 2 y 3 = 0 \left( {x^2 + y^2 - 1} \right)^3 - x^2 y^3 = 0 (x2+y2−1)3−x2y3=0 ，可以化为极坐标形式 ρ 5 sin 2 θ cos 3 θ = ( ρ 2 − 1 ) 3 \rho ^5 \sin ^2 \theta \cos ^3 \theta = \left( {\rho ^2 - 1} \right)^3 ρ5sin2θcos3θ=(ρ2−1)3 。 这是一个复杂的五次方程，没有显式的解。通过将两个未知数各自移动到两边 sin 2 θ cos 3 θ = ( ρ 2 − 1 ) 3 / ρ 5 \sin ^2 \theta \cos ^3 \theta = \left( {\rho ^2 - 1} \right)^3 /\rho ^5 sin2θcos3θ=(ρ2−1)3/ρ5 ，得到了形如 f 1 ( ρ ) = f 2 ( sin θ , cos θ ) f_1 \left( \rho \right) = f_2 \left( {\sin \theta ,\cos \theta } \right) f1(ρ)=f2(sinθ,cosθ) 的方程。通过逆函数电路法，把正弦余弦信号通过运算电路构成 f 1 ( sin θ , cos θ ) f_1 \left( {\sin \theta ,\cos \theta } \right) f1(sinθ,cosθ) 信号的电位;然后通过逆函数环节,其输出视为ρ,将ρ通过合理极性的运算构造出f1(ρ)信号并引到对应跟随器的输入端，输入端加f2(sinθ, cosθ)信号,这样就构造了一个逆函数环节获得极径的方法。
但是这样的方法有较大缺点，首先是形如f1(ρ)= f2(sinθ, cosθ)的方程,如果没有显式解的话就很可能有多重解，构造f1(ρ)的过程中极性就需要十分小心，这样的电路也往往十分复杂，甚至可能要根据f1(ρ)的极性来使用电子开关。因此本文只构建了几个信号具有显式极坐标表达式的电路。
▲ 图2.2.1 心形曲线
03 设计实例
3.1 笛卡尔心脏线电路
笛卡尔心脏线是法国数学家笛卡尔首先深入研究的一种曲线，在数学中极坐标曲线的研究有着重要的意义。其极坐标形式的通式为：
ρ = a ( b + sin θ ) ( a > 0 , b ≥ 1 ) \rho = a\left( {b + \sin \theta } \right)\,\,\,\left( {a > 0,b \ge 1} \right) ρ=a(b+sinθ)(a>0,b≥1)
此部分利用模拟电路设计并利用示波器绘制出这种神奇的曲线。
3.1.1 电路的设计分析
▲ 图3.1.1 笛卡尔心脏线电路
▲ 图3.1.2 仿真的结果
如图所示电路是一个简单的笛卡尔心脏线绘制电路，运行该电路调整示波器至X-Y模式，便可以观察到一个典型的笛卡尔心脏线。
电路中模拟乘法器满足 u o = k u x ⋅ u y u_o = ku_x \cdot u_y uo=kux⋅uy 。 运算放大器的运算关系为
u O = R f ( u I 1 + u I 2 R ) u_O = R_f \left( { { {u_{I1} + u_{I2} } \over R}} \right) uO=Rf(RuI1+uI2)
其中电阻阻值与乘法器放大比例均为可调参数。
首先，电路使用了交流信号源V3, V4作为正弦信号源。实际电路可以使用函数发生器生成正弦波，并将正弦波引出通过有恰当比例系数的积分或微分电路来获得相位比正弦信号提前 π / 2 \pi /2 π/2 的余弦信号。
然后，电路将正弦信号引出到一个集成运算放大器构成的平衡电阻同相加法器，获得了转换函数 U 1 ( ω t ) U_1 \left( {\omega t} \right) U1(ωt) 由运算放大器的参数：
U 1 ( ω t ) = R f [ V 4 ( ω t ) R + V 5 R ] U_1 \left( {\omega t} \right) = R_f \left[ { { {V_4 \left( {\omega t} \right)} \over R} + { {V_5 } \over R}} \right] U1(ωt)=Rf[RV4(ωt)+RV5]
▲ 图3.1.3 典型的玫瑰线
▲ 图3.1.4 带有萼片的玫瑰线
▲ 图3.1.5 实现的电路
▲ 图3.1.6 频率之比非整数的图片
▲ 图3.1.7 工作在线性区域
▲ 图3.1.8 工作在非线性区域
▲ 图3.1.9 三叶草电路
▲ 图3.1.10 绘制的三叶草
▲ 图3.1.11 爱心电路设计
▲ 图3.1.12 爱心电路图形
04 不足与反思
本文介绍了一种利用模拟运算电路在示波器上绘制特定函数图像的方法，并展示了该方法的可行性和实用性。然而，这个方法仍然存在改进和进一步研究的空间。
首先，尽管我们在本文中展示了几个特定函数图像的实例，但仍有许多其他有趣的函数和图形可以探索。未来的研究可以进一步拓展应用范围，涵盖更多不同类型的函数图像，并探索更多创新的设计方法和电路结构。通过探索不同函数的特性和使用更复杂的电路结构，可以进一步提高绘制图像的准确性和多样性。
而且本文的研究仅限于使用Multisim仿真软件进行电路验证。未来的工作可以考虑在实际硬件平台上实现和测试这些电路，以验证其在实际应用中的可行性和效果。通过实际硬件实现，可以更准确地评估电路的性能，并解决仿真和实际环境之间的差异。
最后，本文并未对逆函数法进行画图做出更深入的讨论，实际上有很多函数图形的极坐标表达式只能通过隐式方程来表达，这点需要通过以后更深一步地研究来解决。
并且在本文设计搭建心形线绘制电路的过程中，开根号运算电路发生了严重的闭锁现象，本文只采取了较为复杂的解决方案。实际上，消除这一现象的方法值得进一步地研究，存在更加便捷解决闭锁现象的方案。
05 结 语
本文介绍了一种利用模拟运算电路在示波器上绘制特定函数图像的通用方法，并验证了该方法的可行性和实用性。通过设计极坐标方程和模拟电路，我们能够将特定函数的图像转换为X-Y信号的极坐标形式，并在直角坐标系下展示出来。
通过本文的研究，我们发现基于模拟运算电路的信号图形绘制方法在电路设计和信号处理领域具有重要的应用价值。该方法不仅可以实现特定函数图像的绘制，还可以用于信号处理算法的开发和验证，电路设计的可视化展示，以及教学和学习等方面。并且，在模拟运算电路的信号绘制过程中涉及许多模拟电路的丰富知识，进行模拟运算电路来图形绘制可以综合更多的模拟电子技术，这对于学习与教学都有着重要意义。
然而，我们也认识到该方法仍然存在改进和进一步研究的空间。未来的工作可以考虑采用数字信号处理技术和更复杂的电路结构，以提高图像绘制的准确性和多样性。此外，实际硬件实现和拓展应用领域也是未来研究的重要方向。
我们希望本文的研究成果能够为电路设计和信号处理领域的研究人员提供有价值的参考，并激发更多关于电路设计和信号图形绘制的创新思路。通过不断探索和改进，我们有望进一步完善该方法，并为相关领域的发展做出更大的贡献。
参考文献
[1] 童诗白,华成英.模拟电子技术基础(第五版)[M].北京:高等教育出版社, 2015.
[2] 模拟电子技术基础课件
[3] GGB作图：优美的极坐标曲线 https://zhuanlan.zhihu.com/p/530461328
[4] Wolfram Mathworld Heart Curve : https://mathworld.wolfram.com/HeartCurve.html
● 相关图表链接: