题目描述
上图给出了一个数字三角形。从三角形的顶部到底部有很多条不同的路径。对于每条路径，把路径上面的数加起来可以得到一个和，你的任务就是找到最大的和。
路径上的每一步只能从一个数走到下一层和它最近的左边的那个数或者右 边的那个数。此外，向左下走的次数与向右下走的次数相差不能超过 1。
输入描述
输入的第一行包含一个整数 N(1≤N≤100)，表示三角形的行数。
下面的 N行给出数字三角形。数字三角形上的数都是 0 至 100 之间的整数。
输出描述
输出一个整数，表示答案
示例
输入
5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
输出
27
思路分析
这道题是加了限制条件的动态规划问题，从第二行开始的每个格子都是由上一行的左右两个格子走下来。但是由于要求总的向左下走的次数与向右下走的次数相差不能超过 1，所以每个格子都有两个状态，一个是向右剩下可以走的次数和剩下向左可以走的次数，并且用-1表示当前格子不可能到达。
从顶点开始，不管总共需要走的次数是偶数次还是奇数次，顶点向左走和向右走的次数都初始化 n / 2（n为行数，实际要走的是n - 1次）。但向左走的次数走完时只能向右走，所以向左下走的次数与向右下走的次数相差不会超过 1。
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner scan = new Scanner(System.in);
int n = scan.nextInt();
int[][] leftNum = new int[n + 1][];// 对应当前格子向左边可以走的次数
int[][] rightNum = new int[n + 1][];// 对应当前格子向右边可以走的次数
leftNum[1] = new int[1];
rightNum[1] = new int[1];
leftNum[1][0] = n / 2;//最上面的第一个格子初始化为n/2
rightNum[1][0] = n / 2;
int[][] array = new int[n + 1][];
for (int i = 1; i <= n; i++) {
array[i] = new int[i];
for (int j = 0; j < i; j++) {
array[i][j] = scan.nextInt();
}
}
for (int j = 2; j <= n; j++) {
leftNum[j] = new int[j];
rightNum[j] = new int[j];
for (int i = 0; i < j; i++) {
if (i == j - 1 || leftNum[j - 1][i] == 0) {
// 只能上一行往右下走
if (i != 0 && rightNum[j - 1][i - 1] > 0) {
// 如果不是，则没有办法到达此格子
array[j][i] += array[j - 1][i - 1];
rightNum[j][i] = rightNum[j - 1][i - 1] - 1;
leftNum[j][i] = leftNum[j - 1][i - 1];
} else {
rightNum[j][i] = -1;//用-1标记
leftNum[j][i] = -1;
}
} else if (i == 0 || rightNum[j - 1][i - 1] == 0) {
// 只能上一行往左下走
if (i != j - 1 && leftNum[j - 1][i] > 0) {
array[j][i] += array[j - 1][i];
leftNum[j][i] = leftNum[j - 1][i] - 1;
rightNum[j][i] = rightNum[j - 1][i];
} else {
rightNum[j][i] = -1;
leftNum[j][i] = -1;
}
} else {
//左右都可以走
if (array[j - 1][i] > array[j - 1][i - 1]) {
array[j][i] += array[j - 1][i];
leftNum[j][i] = leftNum[j - 1][i] - 1;
rightNum[j][i] = rightNum[j - 1][i];
} else {
array[j][i] += array[j - 1][i - 1];
rightNum[j][i] = rightNum[j - 1][i - 1] - 1;
leftNum[j][i] = leftNum[j - 1][i - 1];
}
}
}
}
//找出最大值
int max = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (array[n][i] > max) {
max = array[n][i];
}
}
System.out.println(max);
scan.close();
}
}