【Matlab 六自由度机器人】关于旋转的参数化（欧拉角、姿态角、四元数）的相关问题（附MATLAB代码辅助理解）

往期回顾

【主线】

1. 建立机器人模型
2. 运动学正解
3. 基于蒙特卡洛法(Monte Carlo Method)构建工作空间

【补充说明】

1. 关于灵活工作空间与可达工作空间的理解
2. 关于改进型D-H参数(modified Denavit-Hartenberg)的详细建立步骤

前言

在本文中，将推导三种方式来表达任意旋转，其中每种方式仅需三个独立变量：欧拉角表示法、姿态角表示法（滚动-俯仰-偏航）及四元数表示法（转轴/角度）。

---

以下是本篇文章正文内容，包含对欧拉角表示法、滚动-俯仰-偏航表示法及转轴/角度表示法定义的理解和相关代码的分步解析。

正文

一、欧拉角（Euler-angle）表示法

1. 定义

表示旋转矩阵的一种常用方法是使用欧拉角，其中有三个独立变量。考虑固定坐标系$o_0{x}_0{y}_0{z}_0$，以及旋转后的坐标系$o_1{x}_1{y}_1{z}_1$。
我们可以使用三个欧拉角（$\varphi ,\theta ,\psi$）来表示坐标系$o_1{x}_1{y}_1{z}_1$相对于坐标系$o_0{x}_0{y}_0{z}_0$的姿态，它们通过下列三个连续旋转得到。首先，绕当前$z$轴旋转角度$\varphi$。然后，绕当前$y$轴旋转角度$\theta$。最后，绕当前$z$轴旋转角度$\psi$。
注意！这里的旋转均是绕旋转后的坐标系来进行旋转
根据上述描述的旋转，列出以下旋转的对应矩阵。
$$R_{z,\varphi }=\left[\begin{array}{ccc}cos\varphi & -sin\varphi & 0\\ sin\varphi & cos\varphi & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$$$R_{y,\theta }=\left[\begin{array}{ccc}cos\theta & 0& sin\theta \\ 0& 1& 0\\ -sin\theta & 0& cos\theta \end{array}\right]$$$$R_{z,\psi }=\left[\begin{array}{ccc}cos\psi & -sin\psi & 0\\ sin\psi & cos\psi & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$通过上述的矩阵按右乘的顺序来进行乘积，得到旋转变换后的旋转矩阵为：$$R_{ZYZ}=R_{z,\varphi }{R}_{y,\theta }{R}_{z,\psi }=\left[\begin{array}{ccc}cos\varphi \ast cos\psi \ast cos\theta -sin\varphi \ast sin\psi & -cos\psi \ast sin\varphi -cos\varphi \ast cos\theta \ast sin\psi & cos\varphi \ast sin\theta \\ cos\varphi \ast sin\psi +cos\psi \ast cos\theta \ast sin\varphi & cos\varphi \ast cos\psi -cos\theta \ast sin\varphi \ast sin\psi & sin\varphi \ast sin\theta \\ -cos\psi \ast sin\theta & sin\psi \ast sin\theta & cos\theta \end{array}\right]$$
方程中的矩阵$R_{ZYZ}$被称为$ZYZ$欧拉角变换。

2. 代码解析（含实例）

代码如下：

syms phi theta psi
R1 = rotz(phi)*roty(theta)*rotz(psi);

由于需要使用 $trplot$ 函数来将旋转可视化，因此在这里设欧拉角$\varphi \theta \psi$的角度均为$pi/6$。
$R_0$为参考系矩阵，$R_1$以$R_0$为参考系矩阵，做$R_{z,\pi /6}{R}_{y,\pi /6}{R}_{z,\pi /6}$的旋转。

syms phi theta psi
R0 = rotz(0);
R1 = rotz(pi/6)*roty(pi/6)*rotz(pi/6);
trplot(R0,'color','r','frame','0')
hold on
trplot(R1,'color','b','frame','1')

得到结果如下：

二、姿态角（RPY）表示法

滚动（roll）-俯仰（pitch）-偏航（yaw）表示法

1. 定义

旋转矩阵$R$也可以被描述为按特定次序进行的一系列关于主坐标轴$x_0、y_0和z_0$轴旋转的产物。这些旋转决定了滚动（roll）、俯仰（pitch）、偏航（yaw） 角度，在这里我们将定义以下规则。

• 绕 $z_0$ 轴旋转的$\varphi$角度的动作称为滚动（roll）
• 绕 $y_0$ 轴旋转的$\theta$角度的动作称为俯仰（pitch）
• 绕 $x_0$ 轴旋转的$\psi$角度的动作称为偏航（yaw））

我们指定旋转按照$x-y-z$的顺序进行，换言之，首先绕$x_0$轴旋转角度$\psi$，然后绕 $y_0$ 轴旋转角度$\theta$。最后，绕 $z_0$ 轴旋转角度$\varphi$。
注意！这里的旋转均是绕固定坐标系$o_0{x}_0{y}_0{z}_0$来进行旋转
根据上述描述的旋转，列出以下旋转的对应矩阵。
$$R_{z,\varphi }=\left[\begin{array}{ccc}cos\varphi & -sin\varphi & 0\\ sin\varphi & cos\varphi & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$$$R_{y,\theta }=\left[\begin{array}{ccc}cos\theta & 0& sin\theta \\ 0& 1& 0\\ -sin\theta & 0& cos\theta \end{array}\right]$$$$R_{x,\psi }=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& cos\psi & -sin\psi \\ 0& sin\psi & cos\psi \end{array}\right]$$通过上述的矩阵按左乘的顺序来进行乘积，得到旋转变换后的旋转矩阵为：$$R=R_{z,\varphi }{R}_{y,\theta }{R}_{x,\psi }=\left[\begin{array}{ccc}cos\varphi \ast cos\theta & cos\varphi \ast sin\psi \ast sin\theta -cos\psi \ast sin\varphi & sin\varphi \ast sin\psi +cos\varphi \ast cos\psi \ast sin\theta \\ cos\theta \ast sin\varphi & cos\varphi \ast cos\psi +sin\varphi \ast sin\psi \ast sin\theta & cos\psi \ast sin\varphi \ast sin\theta -cos\varphi \ast sin\psi \\ -sin\theta & cos\theta \ast sin\psi & cos\psi \ast cos\theta \end{array}\right]$$

2. 代码解析（含实例）

代码如下：

syms phi theta psi
R2 = rotz(phi)*roty(theta)*rotx(psi);

三、四元数（axis/angle）表示法（未完待续）

转轴/角度（axis/angle）表示法

1. 定义

旋转并不总是关于主坐标轴而进行的。我们通常感兴趣的是关于空间中某任意轴线的旋转，这不仅提供了一种描述旋转的简便方法，并且提供了对于旋转矩阵的另一种参数化方法。
令$k=[k_x，k_y，k_z{]}^T$表示坐标系$o_0{x}_0{y}_0{z}_0$内的一个单位向量，它定义了一个转轴，在此推导旋转矩阵$R_{k,\theta }$来表示关于次轴线的转角为$\theta$的旋转。

2. 代码解析（含实例）

在MATLAB中使用 $quaternion$ 函数来实现坐标系绕任意轴线旋转。
代码如下：
参考Quaternion

---

总结

以上就是关于旋转的参数化（欧拉角、姿态角、四元数）的内容，本文详细介绍了如何理解欧拉角、姿态角、四元数，提供了代码辅助理解旋转的参数化的特性。

参考文献

1. 旋转矩阵、欧拉角、四元数理论及其转换关系
   
2. Rodrigues’ Rotation Formula