二、生理信号处理(脑电信号) ——共空间模式算法(common spatial patterns, CSP)(含Matlab代码及分析)

* 查询了一些脑电信号空间域的特征提取内容，发现还是要自己动手尝试复现一遍，才能更好地理解含义。

* 文章中数据下载链接：https://download.csdn.net/download/qq_41958946/86976371

* 共空间模式（CSP）算法: 采用监督(已知标签类别)的方法创建一个最优的公共空间滤波器(本质为空间滤波器)；最大化一类方差的同时最小化另一类方差，采用同时对角化两类任务协方差矩阵的方式，得到可区分程度最大的特征向量。

* 关于CSP的使用已经从二分类拓展至多分类；并且针对CSP本身存在的一些问题，进行了一些改进，来提升算法本身的抗噪性、泛化能力等。

* 这里以两个不同类别Class1和Class2的数据为例 (通道数6*样本数据点4096)(二分类)；

(各类仅取了一次实验的数据，排除多次实验需要循环项的干扰，关注于特征提取本身)

1. 求两类数据的混合空间协方差矩阵

* 协方差：主要用于表示两者间的相关性，如正负相关，相关系数等概念；

* 计算如下：

$R1 = \frac{X_{1}X_{1}^{T}}{trace(X_{1}X_{1}^{T}))},R2 = \frac{X_{2}X_{2}^{T}}{trace(X_{2}X_{2}^{T}))}$ (1)

* 式中T表示矩阵的转置，trace表示矩阵对角线上元素的和。

(1) 计算Class1和Class2两类任务数据的协方差：

#1.协方差矩阵计算
Class1_Cov = Class1'*Class1./trace(Class1'*Class1);
Class2_Cov = Class2'*Class2./trace(Class2'*Class2);

* 运算结果：

(2) 计算两类数据空间协方差之和:

$R = \bar{R_{1}} + \bar{R_{2}}$ (2)

* 式中 $\bar{R_{1}}$ 和 $\bar{R_{2}}$ 分别表示两个任务的平均协方差矩阵(由于仅分别使用任务1和2的各一个数据，因此求任务1和2分别的平均协方差矩阵是为其本身)。

# 计算两类数据空间协方差之和
Cov_Sum = Class1_Cov + Class2_Cov;

2. 求出白化特征值矩阵P

* 白化：让特征之间尽可能不相关。

(1) 计算两类数据协方差之和Cov_Sum的特征矩阵Uc和特征向量λ(Dc):

$R=U_{c}\lambda U_{c}^{T}$ (3)

# 计算两类数据协方差之和Cov_Sum的特征矩阵Uc和特征向量λ(Dc)
[Uc,Dc] = eig(Cov_Sum);

* eig函数:计算矩阵的特征向量和特征矩阵

* 运算结果：

(2) 提取特征向量λ(Dc)的对角元素，并将其按降序排列，得到白化矩阵P：

$P=\sqrt{\lambda^{-1}}U^{T}$ (4)

# 提取特征向量λ(Dc)的对角元素，并将其按降序排列，得到白化矩阵P
Eigenvalues = diag(Dc);
[Eigenvalues,egIndex] = sort(Eigenvalues, 'descend');# 降序
P = diag(sqrt(1./Eigenvalues))*Uc';

* diag函数：用于提取，替换矩阵的对角元素，或构造对角矩阵

* sort函数：排序

* 运算结果：

3. 构建空间滤波器

(1) 利用白化后的矩阵求两类任务的公共特征矩阵：

$S_{1}=PR_{1}P^{T},S_{2}=PR_{2}P^{T}$ (5)

# 利用白化后的矩阵求两类任务的公共特征矩阵
transformedCov1 = P*Class1_Cov*P';

(2) 计算公共特征矩阵的特征向量和特征矩阵:

$S_{1}=B_{1}\lambda_{1} B_{1}^{T} , S_{2}=B_{2}\lambda_{2} B_{2}^{T}$ (6)

# 计算公共特征矩阵的特征向量和特征矩阵:
[U1,D1] = eig(transformedCov1);
Eigenvalues = diag(D1);
[Eigenvalues,egIndex] = sort(Eigenvalues, 'descend');# 降序排列
U1 = U1(:, egIndex);

(3) 计算投影矩阵:

$W= B^{T}P$ (7)

# 计算投影矩阵
CSPMatrix = U1' * P;

4. 特征提取

(1) 将数据Class1和Class2据分别经过构建的滤波器Filter，滤波得到的特征为：

$Z_{Class1} = W\times X _{Class1}$ (8)

$Z_{Class2} = W\times X _{Class2}$ (9)

# CSP特征选择参数m
# CSP特征为2*m个   
FilterPairs = 2;       
features = zeros(1, 2.*FilterPairs+1);

* 取CSPMatrix的前FilterPairs行和后FilterPairs行构建Filter，是因为两端更能表现特征。

# 取了CSPMatrix的前FilterPairs行和后FilterPairs行
Filter = CSPMatrix([1:FilterPairs (end-FilterPairs+1):end],:);
projected_Class1 = Filter * Class1';

* 运算结果：对于Class1的一次实验数据，得到6个通道中每个通道的4个值表示特征。

(2) 将特征生成为投影信号的对数方差：

$f_{Class1} = \frac{VAR(Z_{Class1}))}{sum(VAR(Z_{Class1}))))}$ (10)

$f_{Class2} = \frac{VAR(Z_{Class2}))}{sum(VAR(Z_{Class2}))))}$ (11)

# 确定特征向量
variances_train = var(projected_Class1,0,2);  
for f=1:length(variances_train)
    features(f) = log(variances_train(f));
end
CSP_Class1_feature = features(1:4);

* 运算结果：

* 最终结果：CSP_Class1_feature即为任务1的特征，同理可求任务2特征。

参考资料：平台内资源。