离散数学复习笔记

命题逻辑

$P$	$Q$	$\neg P$ 否定/非	$P\wedge Q$ 合取/与	$P\vee Q$ 析取/或	$P\to Q$ 蕴含	$P\leftrightarrow Q$ 等价
0	0	1	0	0	1	1
0	1	1	0	1	1	0
1	0	0	0	1	0	0
1	1	0	1	1	1	1

$P\to Q$ 的自然语言
充分条件: 如 $P$ 则 $Q$, 只要 $P$ 就 $Q$.
必要条件: $P$ 仅当 $Q$, 只有 $Q$ 才 $P$, 除非 $Q$ 才 $P$, 除非 $Q$ 否则 $\neg P$.

永真公式(重言); 永假公式(矛盾); 可满足公式.

联结词完备集: { S , ∧ , ∨ , ¬ } \{S,\wedge,\vee,\neg\} { S,∧,∨,¬}; { S , ∧ , ¬ } \{S,\wedge,\neg\} { S,∧,¬}; { S , ∨ , ¬ } \{S,\vee,\neg\} { S,∨,¬}.

析取式(子句): 有限个变元的析取.
合取式(短语): 有限个变元的合取.
析取范式: 有限个短语的析取.
合取范式: 有限个子句的合取.
化简: ①取代等价蕴含; ②De MoRGen和双重否定律去掉多余否定; ③分配律进一步化简.

最简式: 变元及否定存在且只存在一个, 变元间次序唯一.
极小项(最简合取式); 极大项(最简析取式); $n$ 个变元各有 $2^n$ 个极小项和极大项.
全部极小项的析取永真, 全部极大式的合取永假.
主析取范式: 有限个极小式的析取.
主合取范式: 有限个极大式的合取.
求主范式方法: ①化简; ②补项并分配律: 求主析取补 $(\neg P\vee P)$, 求主合取补 $(\neg P\wedge P)$; ③剩余极小项析取(极大项合取)的否定即得主合取(主析取) - 即主范式项数和为 $2^n$.

等价规则: 交换律, 结合律, 分配律, 双重否定律, De MoRGan 律.
幂等律: $G\wedge G=G$, $G\vee G=G$.
吸收律: $G\vee (G\wedge H)=G$, $G\wedge (G\vee H)=G$.
同一律: $G\wedge 0=G$, $G\vee 1=G$.
零律: $G\wedge 1=1$, $G\vee 0=0$.
排中律: $G\vee \neg G=1$.
矛盾律: $G\wedge \neg G=0$.
等价: $G\leftrightarrow H=(G\to H)\wedge (H\to G)$.
蕴含: $G\to H=\neg G\vee H$.
假言易位: $G\to H=\neg H\to \neg G$.
等价否定: $G\leftrightarrow H=\neg G\leftrightarrow \neg H$.
归谬: $(G\to H)\wedge (G\to \neg H)=\neg G$.
代入: 永真公式中某一变元永相同公式代入仍为永真.
替换: 原公式与其中出现的子公式被恒等公式替换后得到的新公式等价.
反演: 反演公式为原公式否定; 交换 $\vee$ 和 $\wedge$, $0$ 和 $1$, 所有变元取反.
对偶: 等价公式各自的对偶公式仍等价; 交换 $\vee$ 和 $\wedge$, $0$ 和 $1$.
异或: $A\bar{\wedge }B=\neg (A\leftrightarrow B)$.
蕴含否定: $A\nrightarrow B=\neg (A\to B)$.
与非: $A\uparrow B=\neg (A\wedge B)$.
或非: $A\downarrow B=\neg (A\vee B)$.

形式推理 $G_1,G_2,...,G_n⟹H$ 有效(成立, 不一定有真实性)当且仅当 ${\bigwedge }_{i=1}^n{G}_i\to H$ 永真.
简化规则: $G\wedge H⟹G,H$.
添加规则: $G⟹G\vee H$; $H⟹G\vee H$.
$\neg G⟹G\to H$; $H⟹G\to H$; $\neg (G\to H)⟹G,\neg H$; $G,H⟹G\wedge H$.
选言三段论: $\neg G,G\vee H⟹H$; $\neg G,G\bar{\vee }H⟹H$.
肯定前件: $G,G\to H⟹H$.
否定后件: $\neg H,G\to H⟹\neg G$.
假言三段论: $G\to H,H\to I⟹G\to I$.
二难推论: $G\wedge H,G\to I,H\to I⟹I$.

演绎法: 规则 P(前提引用); 规则 T(逻辑结果引用, I 推理, E 等价); 规则 CP(附加前提; 按定义证明).
反证法: $G_1,G_2,...,G_n,\neg H$ 不一致(不相容), 即 ${\bigwedge }_{i=1}^n{G}_i\wedge \neg H$ 永假(矛盾)时, 形式推理有效.

空证明: $P$ 为假时 $P\to Q$ 一定为真.
平凡证明: $Q$ 为真时 $P\to Q$ 一定为真.
归谬证明: $Q$ 为假且 $\neg P\to Q$ 为真时 $\neg P$ 一定为假, 即 $P$ 一定为真.
分情形证明: $\bigvee {i=1}^n{P}_i\to Q={\bigwedge }_{i=1}^n(P_i\to Q)$.
等价证明: $P_1\leftrightarrow P_2\leftrightarrow ...\leftrightarrow P_n=(P_1\to P_2)\wedge (P_2\to P_3)\wedge ...\wedge (P_n\to P_1)$.

谓词逻辑

$n$ 元谓词: 个体变量定义域 $x\in D$, $D^n$ 上函数 $P(x_1,x_2,...,x_n)$ 值域 { 0 , 1 } \{0,1\} { 0,1}.
全称量词 - $(\forall x)G(x)=\bigwedge G(x_{\alpha })$; 存在量词 - $(\exists x)G(x)=\bigvee G(x_{\alpha })$.
对任意 $x$ 满足 $G$, 一定有 $H$: $(\forall x)(G(x)\to H(x))$.
存在 $x$ 满足 $G$, 使得 $H$: $(\exists x)(G(x)\wedge H(x))$.

约束变元: (合式)公式中变元出现在其量词辖域内; 否则为自由变元.
约束变元改名 - 对变元进行区分; 自由变元代入 - 改变公式含义.
闭式: 无自由变元.

有效公式; 矛盾公式; 可满足公式.

前束范式: 所有量词位于最前端, 量词辖域到末端; 即 $(Q_1{x}_1)(Q_2{x}_2)...(Q_n{x}_n)M(x_1,x_2,...,x_n)$; 与原公式等价.
Skolem 标准型: ①消去存在量词时, 原公式左侧有 $m\ne 0$ 个全称量词, 用 $m$ 元函数表示, 否则用常量符号表示; ②消去全称量词时, 直接保留变元; ③不一定与原公式等价.

等价规则: 永真公式代入实例必有效(即满足命题逻辑全部等价规则)
改名规则: $(\exists x)G(x)=(\exists y)G(y)$; $(\forall x)G(x)=(\forall y)G(y)$.
量词转换律: $\neg (\exists x)G(x)=(\forall x)\neg G(x)$; $\neg (\forall x)G(x)=(\exists x)\neg G(x)$.
量词辖域扩收律: $(\exists x)(G(x)\wedge S)=(\exists x)G(x)\wedge S$; $(\exists x)(G(x)\vee S)=(\exists x)G(x)\vee S$; $(\forall x)(G(x)\wedge S)=(\forall x)G(x)\wedge S$; $(\forall x)(G(x)\vee S)=(\forall x)G(x)\vee S$.
量词分配律: $(\exists x)(G(x)\vee H(x))=(\exists x)G(x)\vee (\exists x)H(x)$; $(\forall x)(G(x)\wedge H(x))=(\forall x)G(x)\wedge (\forall x)H(x)$.
改名分配律: $(\exists x)G(x)\wedge (\exists x)H(x)=(\exists x)(\exists y)(G(x)\wedge H(x))$; $(\forall x)G(x)\vee (\forall x)H(x)=(\forall x)(\forall y)(G(x)\vee H(x))$.
量词交换律: $(\exists x)(\exists y)G(x,y)=(\exists y)(\exists x)G(x,y)$; $(\forall x)(\forall y)G(x,y)=(\forall y)(\forall x)G(x,y)$.

推理: (同命题逻辑)
$(\forall x)G(x)⟹(\exists x)G(x)$.
$(\exists x)(G(x)\wedge H(x))⟹(\exists x)G(x)\wedge (\exists x)H(x)$; $(\forall x)(G(x)\vee H(x))⟹(\forall x)G(x)\vee (\forall x)H(x)$.
$(\exists x)(G(x)\to H(x))⟹(\exists x)G(x)\to (\exists x)H(x)$; $(\forall x)(G(x)\to H(x))⟹(\forall x)G(x)\to (\forall x)H(x)$.
$(\exists x)(\forall y)G(x,y)⟹(\forall y)(\exists x)G(x,y)$; $(\forall x)(\forall y)G(x,y)⟹(\exists y)(\exists x)G(x,y)$; $(\forall y)(\forall x)G(x,y)⟹(\exists x)(\forall x)G(x,y)$; $(\exists y)(\forall x)G(x,y)⟹(\forall x)(\exists y)G(x,y)$; $(\forall x)(\exists y)G(x,y)⟹(\exists y)(\exists x)G(x,y)$; $(\forall y)(\exists y)G(x,y)⟹(\exists x)(\exists y)G(x,y)$.

规则 US(全称特指): $(\forall x)G(x)⟹G(y)$, $y$ 为自由变元.
规则 ES(存在特指): $(\exists x)G(x)⟹G(c)$, $c$ 为使 $G(c)$ 有效的个体常量.
规则 UG(全称推广): $G(y)⟹(\forall x)G(x)$, $G(y)$ 中无自由变元 $x$.
规则 EG(存在推广): $G(c)⟹(\exists x)G(x)$, $c$ 为特定个体常量.

存在性证明: 构造性; 归谬法.
唯一性证明: (隐含存在性) 即 $(\exists x)(P(x)\wedge (\forall y)(y\ne x\to \neg P(y)))$.

数学归纳法: $(\exists n_0)P(n_0)\wedge (\forall n)((n=k)\wedge P(k)\to P(k+1))⟹(\forall n)P(n)$.
强形式: $(\exists n_0)(P(n_0)\wedge P(n_0+1))\wedge (\forall n)((n\le k)\wedge P(n)\to P(k+1))⟹(\forall n)P(n)$.

集合与关系

略去细节, 有朴素 ZFC 公理集合论.
外延: $(\forall x\in X)x\in Y,(\forall y\in Y)y\in X⟹X=Y$; 由此有空集 ∅ : = { u ∈ X : u ≠ u } \emptyset:=\{u\in X:u\ne u\} ∅:={ u∈X:u=u}.
配对: $(\forall x,y)(\exists C)((x,y\in C)\wedge (\forall z\ne x,y\to z\notin C))$; Cartesian 积的前提.
分离: ( ∀ u ∈ X ) P ( u )    ⟹    ∃ Y = { u ∈ X : P ( u ) } (\forall u\in X)P(u)\implies \exists Y=\{u\in X:P(u)\} (∀u∈X)P(u)⟹∃Y={ u∈X:P(u)}.
并集: ( ∀ X ) ∃ ⋃ X : = { u : ∃ v ∈ X → u ∈ v } (\forall X)\exists\bigcup X:=\{u:\exists v\in X\to u\in v\} (∀X)∃⋃X:={ u:∃v∈X→u∈v}.
幂集: ( ∀ x ) ∃ P ( x ) : = { u : u ⊂ X } (\forall x)\exists P(x):=\{u:u\subset X\} (∀x)∃P(x):={ u:u⊂X}.
无穷: ( ∃ x ) ( ( ∅ ∈ X ) ∧ ( ( ∀ y ∈ x ) y ∪ { y } ∈ x ) ) (\exists x)((\emptyset\in X)\wedge((\forall y\in x)y\cup\{y\}\in x)) (∃x)((∅∈X)∧((∀y∈x)y∪{ y}∈x)); 此时 $X$ 为归纳集.
替换: ( ∀ X ) ∃ F ( X ) = { F ( x ) : x ∈ X } (\forall X)\exists F(X)=\{F(x):x\in X\} (∀X)∃F(X)={ F(x):x∈X}; 函数的前提.
正则: $(\forall Y\ne \varnothing )(\exists X\in Y)(\forall Z\in Y)X\in Z$; 由此可构建叠垒谱系.
选择: $(\forall x\in X)x\ne \varnothing ⟹(\exists g)((g:X\to \bigcup X)\wedge (\forall y\in X)g(y)\in X)$; 其中 $g$ 为选择函数; 与良序定理/Zorn 引理等价.

Cartesian 积: A × B : = { < x , y > ∣ x ∈ A ∧ y ∈ B } A\times B:=\{<x,y>|x\in A\wedge y\in B\} A×B:={ <x,y>∣x∈A∧y∈B}; 无交换律, 无结合律, 无零因子, 对 $\cap$ 和 $\cup$ 有左右分配律; 记 $(A\times B{)}^{-1}=B\times A$.
关系: $R\subset \in X_1\times X_2\times ...\times X_n$; 二元时有 $xRy$ 即序偶 $(x,y)\in R\subset A\times B$, $A$ 为前域, $B$ 为后域, { x ∣ x ∈ A , ∃ y ∈ B , < x , y > ∈ R } \{x|x\in A,\exists y\in B,<x,y>\in R\} { x∣x∈A,∃y∈B,<x,y>∈R} 为定义域, 类似有值域, 域为定义域和值域的并; 和集合有类似的运算与定义.
关系矩阵表示法: Bool 矩阵; $A\wedge B$ 即交, $A\vee B$ 即并, $A\odot B$ 即 Bool 矩阵乘法.
合成关系: R ∘ S = { < x , z > ∣ x ∈ A ∧ z ∈ C ∧ ( ∃ y ) ( y ∈ B ∧ x R y ∧ y S z ) } R\circ S=\{<x,z>|x\in A\wedge z\in C\wedge (\exists y)(y\in B\wedge xRy\wedge ySz)\} R∘S={ <x,z>∣x∈A∧z∈C∧(∃y)(y∈B∧xRy∧ySz)}; 和映射有类似的运算与定义.

自反性: $(\forall x\in A)<x,x>\in R⟺$ 关系图中每个结点有环 $⟺$ 关系矩阵主对角线均为 $1⟺I_A\subset R$.
反自反性: $(\forall x\in A)<x,x>\notin R⟺$ 关系图中每个结点无环 $⟺$ 关系矩阵主对角线均为 $0⟺R\cap I_A=\varnothing$.
对称性: $(\forall x,y\in A)(<x,y>\in R\to <y,x>\in R)⟺$ 关系图中结点间总存在方向相反的两边或不存在边 $⟺$ 关系矩阵对称 $⟺R=R^{-1}$.
反对称性: $(\forall x,y\in A)(<x,y>\in R\to <y,x>\notin R)⟺$ 关系图中结点间至多存在一边 $⟺R\cap R^{-1}\subset I_A$.
传递性: $(\forall x,y,z\in A)(<x,y>\in R,<y,z>\in R\to <x,z>\in R)⟺R\circ R\subset R$.
性质的保守性: $R,S$ 自反 $⟹$ $R^{-1},R\cup S,R\cap S,R\circ S$ 自反; $R,S$ 反自反 $⟹$ $R^{-1},R\cup S,R\cap S$ 反自反; $R,S$ 对称, $R^{-1},R\cup S,R\cap S$ 对称.
性质的闭包: $A\ne \varnothing$ 上 关系 $R\subset R^{\prime }$, $R^{\prime }$ 是自反/对称/传递的, $\forall$ 自反/对称/传递 $R^{\prime \prime }$ 均有 $R^{\prime }\subset R^{\prime \prime }$, 分别记为 $r(R)/s(R)/t(R)$; 即增加元素后满足性质的最小集合; $r(R)=R\cup I_A$, $s(R)=R\cup R^{-1}$, $t(R)={\bigcup }_{i=1}^n{R}^i$.

集合与关系性质列举如下:

$A\times B=\varnothing \leftrightarrow A=\varnothing \vee B=\varnothing$.
$A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)$.
$(B\cup C)\times A=(B\times A)\cup (C\times A)$.
$A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)$.
$(B\cap C)\times A=(B\times A)\cap (C\times A)$.
$(\forall A,B,C,D\ne \varnothing )A\times B\subset C\times D⟺A\subset C\wedge B\subset D$.
$|A_i|=m_i⟹|A_1\times A_2\times ...\times A_n|={\prod }_{i=1}^n{m}_i$.

$|A|=n$, $|B|=m$ 上 $R⟹|R|\le 2^{nm}$.
$\varnothing \circ R=R\circ \varnothing =\varnothing$.
$(R\circ S)\circ T=R\circ (S\circ T)$.
$I_A\circ R=R\circ I_B=R$.
$R\circ (S_1\cup S_2)=(R\circ S_1)\cup (R\circ S_2)$.
$(S_1\cup S_2)\circ T=(S_1\circ T)\cup (S_1\circ T)$.
$R\circ (S_1\cap S_2)\subset (R\circ S_1)\cap (R\circ S_2)$.
$(S_1\cap S_2)\circ T\subset (S_1\circ T)\cap (S_1\circ T)$.

$(R\circ S{)}^{-1}=S^{-1}\circ R^{-1}$.
$(R\cup S{)}^{-1}=R^{-1}\cup S^{-1}$.
$(R\cap S{)}^{-1}=R^{-1}\cap S^{-1}$.
$(R-S{)}^{-1}=R^{-1}-S^{-1}$.
$(\overline{R}{)}^{-1}=\overline{R^{-1}}$.
$(A\times B{)}^{-1}=B\times A$.
$S\subset R⟺S^{-1}\subset R^{-1}$.

$R^0=I_A$.
$R^1=R$.
$R^{n+1}=R^n\circ R=R\circ R^n$.
$R^m\circ R^n=R^n\circ R^m=R^{n+m}$.
$(R^m{)}^n=R^{mn}$.
$|A|=n$ 上 $R⟹{\bigcup }_{i=1}^{\infty }{R}^i={\bigcup }_{i=1}^n$.

等价: 自反, 对称, 传递的关系; 记 $\sim$.
等价类: $X\ne \varnothing$ 上 $\sim$ 有 $x\in X$, [ x ] : = { y ∈ X ∣ y ∼ x } [x]:=\{y\in X|y\sim x\} [x]:={ y∈X∣y∼x}.
商集: 全体等价类, 即 $X/\sim :=\{[x]|x\in X\}$.
划分: 由等价类得到的无交并分解, $X={⨆}_{[x]\in X/\sim }[x]$.

偏序: 自反, 反对称, 传递的关系; 记 $\le$; 有 Hasse 图.
极大元 $\forall x\ge b⟹x=b$, 极小元, 最大元(唯一极大元), 最小元(唯一极小元), 上界, 下界, 上确界(最小上界 $\sup$), 下确界(最大下界 $\subset$).
全序/线序/链: 偏序集 $(\forall x,y\in P)x\le y\vee y\le x$.
良序: 全序集 $P$ 的非空子集均有极小元.
序数: 传递集 $\alpha \subset P(\alpha )$ 对 $\in$ 为良序.
超穷归纳: 数学归纳在最小非零极限序数 ( α = sup ⁡ { β ∣ β < α } \alpha=\sup\{\beta|\beta<\alpha\} α=sup{ β∣β<α}) $\omega$ 上; 有序类上类似.
良序定理: 任意集合可被赋予良序.
Zorn 引理: 偏序集 $P\ne \varnothing$ 所有链均有上界 $⟹P$ 有极大元.

映射: $f:A\to B$, 原像 $\forall x\in A$, 像 $\exists !y\in B$, $<x,y>\in f$; 定义域 $\mathrm{dom}f=A$, 值域 $\mathrm{ran}f=f(A)$, 陪域 $\mathrm{cod}f=b$.
单射: $(\forall x_1,x_2\in A)(x_1\ne x_2⟹f(x_1)\ne f(x_2))$.
满射: $(\forall x\in B)(\exists x\in A)f(x)=y$.
双射: 既单又满.
变换: 双射时 $A=B$.
常见映射: 恒等映射, 常值映射, 特征映射, Bool映射, 恒等变换.

注: 此处采用常见形式, 教材上 $f\circ g=g(f(x))$ 是不常见的形式但与前面关系复合定义保持一致, 但更应写成 $x(f\circ g)y$ 的形式来消除歧义, 下同.

复合映射: $(g\circ f)(x)=g(f(x))$.
$g\circ f$ 是满射 $⟹g$ 是满射; $g\circ f$ 是单射 $⟹f$ 是单射.
逆映射: $f\circ f^{-1}=I_B$, $f^{-1}\circ f=I_A$, $f\circ I_A=f$, $I_B\circ f=f$.
$f$ 是双射 $⟺f^{-1}$ 存在, 此时 $f^{-1}$ 也为双射.

等势: $X,Y$ 间有双射, 记 $|X|=|Y|$, 其中 $|X|$ 为等势类; 等价关系.
$f:X\to y$ 为单射, 记 $|X|\le |Y|$; $|X|\le |Y|,|Y|\le |X|⟹|X|=|Y|$.
$|X|=n⟹|P(X)|=2^n$.
可数集: $|X|=\omega =|\mathbb{N}|=|\mathbb{Z}|=|\mathbb{Q}|$.

代数结构

有限群: 非空有限集 $G$ 上代数运算满足结合律, 存在单位元(记 $e$), 逆元(记 $a^{-1}$);
记 $|G|=\mathrm{Card}(G)$ 为阶; 定义 $a^{-n}=(a^{-1}{)}^n$, $a^0=e$.
半群: 只满足结合律.
幺半群: 存在单位元的半群.
交换半群: 满足交换律的半群.
交换幺半群: 存在单位元满足交换律的半群.
Abel群: 满足交换律的群.
消去律: 可由结合律和逆元推得.
元素的阶: ∣ a ∣ = inf ⁡ { n ∈ N _ +   ∣   a n = e } |a|=\inf \{n\in\mathbb{N}\_+\ |\ a^n = e\} ∣a∣=inf{ n∈N_+ ∣ an=e} 或 $\infty$;
$|a^{-1}|=|a|$, $|a^d|=\frac{|a|}{\gcd (|a|,d)}$; 若 $n\in \mathbb{Z}$, $a^n=e$ 则 $|a||n$.
子群: 群 $G$ 的非空子集 $H$ 关于 $G$ 的代数运算构成群, 记 $H<G$; 真子群即非平凡子群({e},G);
$H<G$ 则 $e\in H$, $e\in G$, 且 $\forall a\in H$, $a^{-1}\in G$; $H<G⟺\forall a,b\in H$, $a{b}^{-1}\in H$.
循环群: 群 $G$ 的非空子集 $S$, 生成子群 ⟨ S ⟩ = ⋂ S ⊂ H < G H = { ∏ a i l i   ∣   a i ∈ S , l i = ± 1 } \langle S\rangle=\bigcap_{S\subset H<G}H=\{\prod a_i^{l_i}\ |\ a_i\in S, l_i=\pm 1\} ⟨S⟩=⋂S⊂H<G​H={ ∏aili​​ ∣ ai​∈S,li​=±1};
特别 S = { a } S=\{a\} S={ a} 时, 循环子群 ⟨ S ⟩ = ⟨ a ⟩ = { a n   ∣   n ∈ Z } \langle S\rangle=\langle a\rangle=\{a^n\ |\ n\in\mathbb{Z}\} ⟨S⟩=⟨a⟩={ an ∣ n∈Z};
特别 $G=⟨a⟩$ 时为循环群 $⟺\exists a\in G$ s.t. $|a|=|G|$;
循环群子群仍为循环群; 无限循环群同构于 $\mathbb{Z}$, $n$ 阶循环群同构于 $\mathbb{Z}\_n$.

陪集: $H<G$, $\forall a\in G$, $aH$ 为左陪集;
$a\in G$, $aH=H⟺a,b\in G$, $aH=bH$ 或 $aH\cap bH=\varnothing$, $|H|=|aH|$; $G={⨆}_{g\in G}gH$.
Lagrange: 记 $[G:H]=\frac{|G|}{|H|}$, $|G|=[G:H]|H|$; $|a|||G|$.
正规子群: $H<G$, $\forall a\in G$, $aH=Ha$, 记 $H⊲G$; $H<G$, $\forall a\in G$, $H⊲G⟺aH{a}^{-1}=H⟺aH{a}^{-1}\subset H⟺ah{a}^{-1}\in H$, $\forall h\in H$.
商群: $H⊲G$, G / H = { a H   ∣   a ∈ G } G/H=\{aH\ |\ a\in G\} G/H={ aH ∣ a∈G}, $aH\ast bH=(ab)H$.

同态: 保持代数运算不变的映射, 双射时为同构.
群同态: 群 $G_1,G_2$, 映射 $f:G_1\to G_2$, $f(ab)=f(a)f(b)$, $\forall a,b\in G_1$.

置换群: 非空集合 $X$ 上所有可逆变换(双射)关于复合构成对称群 $S_x$; $S_x$ 子群称为变换群;
特别 $|X|=n$ 时, 记 $S_x=S_n$, $S_n$及其子群称为置换群, 元素 $\sigma$ 称为置换; $|S_n|=n!$.
轮换: $f\in S_n$, $i_1,...,i_r\in X$, $f(i_1)=i_2,...,f(i_{r-1})=i_r,f(i_r)=i_1$ 且保持其他元素不变时, $f=(i_1,i_2,...,i_r)$ 称为 $r$ -轮换;
特别 $r=1$ 时为恒等变换, $r=2$ 时称为对换;
任意置换可唯一表示为不相交的轮换之积; 任意轮换可以表示为对换之积.
Cayley: 任意有限群同构于一置换群.

环: 非空集合 $R$ 上两个代数运算 $(+,\cdot )$, $(R,+)$ 为Abel群, $(R,\cdot )$ 为半群, $\cdot$ 对 $+$ 有双边分配律;
为区别, $+$ 的单位元称为零元(记 $0$), 逆元称为负元(记 $-a$).
单位: $a\in R$, $\exists b\in R$ s.t. $ab=ba=e$, 则称 $a$ 为单位; 环中所有单位构成单位群, 记 $U(R)$; $U(\mathbb{Z}\_m)={\mathbb{Z}}_m^{\ast }$.
零因子: 非零元 $a,b\in R$ s.t. $ab=0$, $a$ 为 $b$ 的左零因子.
交换环: $(R,\cdot )$ 为交换半群.
交换幺环: $(R,\cdot )$ 为交换幺半群.
无零因子环: $(R,\cdot )$ 为无零因子半群.
整环: $(R,\cdot )$ 为无零因子交换幺半群.
域: ( R − { 0 } , ⋅ ) (R-\{0\},\cdot) (R−{ 0},⋅) 为Abel群.

双边理想: 非空集合 $I\subset R$, $I$ 对 $+$ 封闭, 对 $\cdot$ 吸收, 即 $\forall s\in R$, $sI\subset I$, $Is\subset I$, 记 $I⊲R$; $d\mathbb{Z}⊲\mathbb{Z}$.
商环: $I⊲R$, $R/I<R$; R / I = { a + I   ∣   a ∈ R } R/I=\{a+I\ | \ a\in R\} R/I={ a+I ∣ a∈R}.
$(a+I)+(b+I)=(a+b)+I$, $(a+I)(b+I)=(ab)+I$.
生成理想: 非空集合 $S\subset R$, 包含 $S$ 的所有理想的交集;
特别 S = { a } S=\{a\} S={ a} 时, 记 $⟨S⟩=⟨a⟩$ 为 $a$ 生成的主理想;
特别 $R$ 为交换幺环时, 主理想 ⟨ a ⟩ = { r a   ∣   r ∈ R } \langle a\rangle=\{ra\ | \ r\in R\} ⟨a⟩={ ra ∣ r∈R};
$\mathbb{Z}$ 的所有理想均为主理想.
素理想: 交换幺环 $R$, 非平凡 $P⊲R$, 若 $ab\in P$, 有 $a\in P$ 或 $b\in P$; 特别整环中, 素元 $p$, $⟨p⟩$ 为素理想.
交换幺环 $R$, $P⊲R$, $R/P$ 为整环 $⟺P$ 为素理想.
极大理想: 交换幺环 $R$, 非平凡 $M⊲R$, 无真包含 $M$ 的非平凡理想.
交换幺环 $R$, $M⊲R$, $R/M$ 为域 $⟺M$ 为极大理想.
极大理想一定为素理想, 反之不然.

Euclid整环(ED): 满足Euclid性的整环, ∀ a , b ∈ R − { 0 } \forall a,b\in R-\{0\} ∀a,b∈R−{ 0}, 有映射 ε : R − { 0 } → Z + \varepsilon: R-\{0\}\to \mathbb{Z}_+ ε:R−{ 0}→Z+​ s.t. $\epsilon (a)\le \epsilon (ab)$, $\exists r,q\in R$ s.t. $a=bq+r$, $\epsilon (r)<\epsilon (b)$ 或 $r=0$; 其上有最大公因数.
主理想整环(PID): 理想均为主理想的整环; 其上素元和不可约元等价, 素理想和极大理想等价; 素元为非零元非单位 $p$ s.t. $a,b\in R$, 若 $p|ab$, 有 $p|a$ 或 $p|b$; 不可约元为非零元非单位 $q$ s.t. $a,b\in R$, 若 $q=ab$, 有 $a$ 或 $b$ 为单位.
唯一析因整环(UFD): 整环 $R$ 中非零元非单位的元素可以唯一表示为有限个不可约元的积.
定理: 所有域都是ED; 所有ED都是PID; 所有PID都是UFD.

特征: c h a r ( R ) = inf ⁡ { n ∈ Z +   ∣   n a = a , ∀ a ∈ R } {\rm char}(R)=\inf\{n\in\mathbb{Z}_+\ | \ na=a,\forall a\in R\} char(R)=inf{ n∈Z+​ ∣ na=a,∀a∈R} 或0; $\mathrm{char}(\mathbb{Z})=0$, $\mathrm{char}(\mathbb{Z}\_m)=m$;
整环特征必为0或素数, 非空有限域特征必为素数, $\mathrm{char}(F_p)=p$;
$\forall a,b\in F_p$, $(a+b{)}^p=a^p+b^p$.
有限域结构: $\forall$ 素数 $p$, $n\in \mathbb{Z}\_+$, 存在同构意义下唯一的有限域 $F_{p^n}$ s.t. $|F_{p^n}|=p^n$, $\mathrm{char}(F_{p^n})=p$.

此处采用常见记号, 与教材有所区别, 下同.

格: 偏序集 $(L,\le )$ 中 $\forall a,b\in L$, { a , b } \{a,b\} { a,b} 都有上确界和下确界, 记 a + b = sup ⁡ { a , b } a+b=\sup\{a,b\} a+b=sup{ a,b}, a b = inf ⁡ { a , b } ab=\inf\{a,b\} ab=inf{ a,b}.
等价定义: $(L,\wedge ,\vee )$ 中 $\wedge ,\vee$ 满足交换律, 结合律, 吸收律 $a\wedge (a\vee b)=a$ 和 $a\vee (a\wedge b)=a$.
性质: 自反性, 反对称性, 传递性, 交换律, 集合律, 吸收律, 幂等律, 保序性, 对偶律.
$ab\le a,b$; $a,b\le a+b$.
$c\le a,b⟹c\le ab$; $a,b\le c⟹a+b\le c$.
$a\le b⟺ab=a⟺a+b=b$.
$a\le b$, $c\le d⟹ac\le bd$, $a+c\le b+d$.
分配不等式: $a+(bc)\le (a+b)(a+c)$; $a(b+c)\ge (ab)+(ac)$.
模不等式: $a\le c⟺a+(bc)\le (a+b)c$.
类似, 有子格及格同态; 格同态一定保序.

分配格: 满足分配律 $⟺$ 任意 5 元素子格同构于 Hasse 图中的后 3 个.
链分配格; 4元素以下一定为分配格.
分配格 $\forall a\in L$, $x,y\in L$ 有 $ax=ay,a+x=a+y⟹x=y$.
模格 (Dedekind): 满足模律 $a\le b⟹a+(bc)=(a+b)c⟺$ 任意 5 元素子格不同构于 Hasse 图中的第 2 个; 分配格是模格.
有界格: 格有全上界和全下界, 分别记 $1$ 和 $0$; 全上界全下界存在时必唯一.
补格: 有界格 $\forall a\in L$, 有补元 $a^{\prime }$, $a+a^{\prime }=1$, $a{a}^{\prime }=0$.
分配格中补元存在则必唯一.
补分配格性质: 对合律, 零律, 同一律, 反演律.
$a\le b⟺b^{\prime }\le a^{\prime }$; $a\le b⟺a{b}^{\prime }=0⟺a^{\prime }+b=1$.

Bool 代数/格: 即补分配格.
Stone表示定理: 有限 Bool 代数总同构于势 $2^n$ 的集合域.
类似, 有 Bool 子代数, Bool 代数同态.
Bool 表达式 $f(x_1,x_2,...,x_n)$, Bool 函数 $f:\mathcal{B}\to {\mathcal{B}}^{\prime }$, 极大项 ${\sum }_{i=1}^n\widehat{x_i}$, 极小项 ${\prod }_{i=1}^n\widehat{x_i}$, 主析取范式 (sum of product) ${\sum }_{i=1}^m{\prod }_{i=1}^n\widehat{x_i}$, 主合取范式 (product of sum) ${\prod }_{i=1}^m{\sum }_{i=1}^n\widehat{x_i}$.

图

环: 边的两个端点相同.
孤立结点: 不与任何结点相邻接.
零图: 仅由孤立结点组成.
平凡图: 只有一个结点的零图.
$(n,m)$ 图/ $n$ 阶图: 含有 $n$ 个结点, $m$ 条边.
边集偶对是否有序: 无向图; 有向图; 混合图.
有无平行边(两结点间有无多条边; 重数): 多重图; 线图; 简单图(无环线图).
边是否有值: 无权图; 赋权图.

操作: 删除边 $G-E$; 删除结点 $G-V^{\prime }$; 添加边 $G\cup (u,v)$; 收缩边(将删除边的两个结点用新结点代替) $G\backslash e$.
子图($V^{\prime }\subset V$, $E^{\prime }\subset E$): 真子图 ($V^{\prime }\ne V\vee E^{\prime }\ne E$); 生成子图($V^{\prime }=V$, $E^{\prime }\subset E$, 即 $G-(E-E^{\prime })$); 导出子图 ($\varnothing \ne V^{\prime }\subset V$, $\forall u,v\in V^{\prime }$, $(u\&v\in E)\to (u\&v\in E^{\prime })$, 即 $G-(V-V^{\prime })$).
完全图: $\forall u,v\in V$, $u\&v\in E$; 记 $K=⟨V,E⟩$.
补图 (无权): $H=⟨V,E-E^{\prime }⟩$; $G=⟨V,E⟩$ 为完全图, $G^{\prime }=⟨V,E^{\prime }⟩$ 为简单图; 即 $\overline{a_{i}j}=1-a_{i}j(i\ne j);0(i=j)$.

度: 该结点的边数; 出度/入度; 最大/小(出/入)度; $\mathrm{deg}(v_i^{+})={\sum }_{k=1}^n{a}_{ik}$, $\mathrm{deg}(v_i)={\sum }_{k=1}^n{a}_{ik}+a_{ii}$.
度数序列 $(\mathrm{deg}(v_1),...,\mathrm{deg}{v}_n)$.
悬挂结点: 度为 $1$ 的结点. 悬挂边: 悬挂结点的边.
基本(握手)定理: ${\sum }_{v\in V}\mathrm{deg}(v)=2|E|$; ${\sum }_{v\in V}{\mathrm{deg}}^{+}(v)={\sum }_{v\in V}{\mathrm{deg}}^{-}(v)=|E|$; 奇度结点恰有偶数个.
同构: 结点数相同, 边数相同, 度数相同的节点数相同, 结点及边关系均一一对应.

通路 (无权): $v_1\&v_2\&...\&v_k$, 其中 $v_i\&v_j=1$, $k$ 为长度; 特别 $v_i=v_k$ 时为回路.
简单通路 (迹): 通路中边互不相同; 特别有简单回路 (闭迹).
基本/初级通路 (路径): 通路中结点互不相同; 特别有基本/初级回路 (圈).
基本通路/回路一定是简单通路/回路, 反之不然.
通路定理: 邻接矩阵 $A_{n\times n}$, $A^m$ 中 $a_{ij}$ 为 $v_i$ 到 $v_j$ 的通路数目.
可达: $v_i$ 到 $v_j$ 存在通路; 结点到自身总是可达的; 即等价关系 R = { < u , v > ∣ u , v ∈ V , u R=\{<u,v>|u,v\in V,u R={ <u,v>∣u,v∈V,u 到 $v$ 可达 $\}$
距离: 短程线 (可达的最短通路) 的距离 $d(v_i,v_j)$; 记不可达时 $d(v_i,v_j)=\infty$; 无向图中 $d$ 即为度量; 有向图中不满足对称性.
长度定理: $n$ 阶图中若存在两结点通路, 则存在该两结点长度不大于 $n-1$ 的基本通路; 若存在某结点回路, 则存在该结点长度不大于 $n$ 的基本回路.
Floyd: 线图中邻接矩阵 $A_{n\times n}$, 考虑 $A^k$ $a_{ij}^{(k)}$; d ( v i , v j ) = ∞   ( ∑ k = 1 n a i j k ) = 0 ;   inf ⁡ { k = 1 , 2 , . . . , n ∣ a i j k ≠ 0 } d(v_i,v_j)=\infty\ (\sum_{k=1}^na_{ij}^k)=0;\ \inf\{k=1,2,...,n|a_{ij}^{k}\ne 0\} d(vi​,vj​)=∞ (∑k=1n​aijk​)=0; inf{ k=1,2,...,n∣aijk​=0}; 即可达矩阵 $P={\bigvee }_{i=1}^n{A}^i$.

连通: 无向图中任何两个结点都是可达的. 有向图中略去方向得到的无向图连通 (弱连通); 任何两个节点间至少有一个方向可达 (单向连通) $⟺$ 存在一条经过所有结点的通路; 任何两个节点间互相可达 (强连通) $⟺$ 存在一条经过所有结点的回路.
连通分支: 可达关系导出的子图, 即最大连通子图, 记数目为 $p(G)$; 特别地, 连通图 $p(G)=1$.
割集: 无向图中 $V^{\prime }\subset V$, $p(G-V^{\prime })>p(G)$ 而 $\forall V^{\prime \prime }⊊V^{\prime }$, $p(G-V^{\prime \prime })=p(G)$, 此时 $V^{\prime }$ 为点隔集, 特别只有一个节点时为割点; 类似有边割集和割边（桥）。
连通度: 点连通度 $\kappa (G)$ 为最小点割集势, 规定完全图为 $n-1$, 非连通图为 $0$; 边连通度 $\lambda (G)$ 为最小边割集势, 规定非连通图为 $0$.
无向图中 $\kappa (G)\le \lambda (G)\le \delta (G)$, 其中 $\delta (G)$ 为最小度.
有向图中每个节点位于且仅位于一个弱/强连通分支中, 至少位于一个单向连通分支中; 每一条边至多位于一个强连通分支中, 至少位于一个单向连通分支中, 位于且仅位于一个弱连通分支中.

树: 连通且无回路的无向图; 度为 $1$ 的结点为叶, 其余为分支或内部; 每个连通分支均为树的无向图为森林.
无向图中 $|V|=n$, $|E|=m$: $G$ 为树 $⟺$ $G$ 中无回路且 $m=n-1⟺G$ 连通且 $m=n-1⟺G$ 中无回路但任意两个结点间新增边可以得到唯一一条基本回路 $⟺G$ 连通但删除任意一条边后不连通 ($n\ge 2$) $⟺G$ 任意两结点间都有唯一的基本通路($n\ge 2$).
非平凡树都至少有两个叶.
生成树: 无向图的某个生成子图为树; 生成树中的边为树枝, 不在生成树中的边为弦, 弦的集合为补. 破圈法, 删除 $m-n+1$ 条边; 避圈法, 选取 $n-1$ 条边, 广度优先搜索.
无向图存在生成树 $⟺$ 连通.
最小生成树: 权值最小. Kruskal, 依次选取无回路的最小权边; Prim, 从某结点出发依次选取无回路最小权邻接结点.

有向树: 有向图略去方向后为树.
根数: 非平凡有向图; 恰有一个结点入度为 $0$ 为根, 其余所有结点入度均为 $1$, 出度为 $0$ 的结点为叶; 根到叶的道路长度为层数, 最大层数为高; 结点 $v$ 到结点 $u$ 可达, 则 $v$ 为祖先, $u$ 为后代; 特别 $<v,u>\in E$ 时, $v$ 为 $u$ 父亲, $u$ 为 $v$ 儿子; 两结点为同一结点儿子, 则为兄弟.
有序树: 规定每一层结点的次序.
$k$ 元树: 每个分支至多有 $k$ 个儿子; 特别二元树中有左儿子/右儿子, 左子树/右子树; 特别每个分支恰有 $k$ 个儿子则为 $k$ 元完全树, 此时有 $i(k-1)=t-1$, 其中 $t$ 为叶数, $i$ 为分支数.
二元树深度优先遍历: 先根 - 根左右; 中根 - 左根右; 后根 - 左右根.
根树转化为二元树 - 保留左儿子, 弟弟变右儿子; 森林转化为二元树 - 树均转化为二元树, 右二元树作为左二元树的右子树.

前缀码: 码串集合中任意两个码串互不为前缀.
最优树: 叶赋权值 $w_i$, 层数 $L_i$, 赋权二元树权值为 $w(T)=\sum w_i{L}_i$; 给定一组权值, 使得 $w(T)$ 最小.
Huaffman: 依次取两个最小权子树作为左子树与右子树组成新子树; 根结点出发, 左 $0$ 右 $1$ 编码至叶.

Euler 图: 无孤立结点图中存在一条回路, 经过所有边恰好一次.
无向图有 Euler 通路 $⟺$ 连通且仅有 $2$ 个或 $0$ 个奇度数结点.
有向图有 Euler 通路 $⟺$ 连通且除 $2$ 个结点外入度等于出度, 两结点中一个入度比出度大 $1$, 一个出度比入度大 $1$.
无向图为 Euler 图 $⟺$ 连通且所有结点度数均为偶数.
有向图为 Euler 图 $⟺$ 连通且所有结点入度等于出度.
Fleury: 从某结点出发依次优先选剩余边集中的非桥边.
中国邮递员问题: 根据奇度数结点短线程做完全图, 求最小完美匹配并添加平行边.

Hamilton 图: 图中存在一条回路, 经过所有结点恰好一次 (起始结点除外).
无向图有 Hamilton 通路 $⟹\forall \varnothing \ne V^{\prime }\subset V$, $p(G-V^{\prime })\le |V|+1$
无向图为 Hamilton 图 $⟹\forall \varnothing \ne V^{\prime }\subset V$, $p(G-V^{\prime })\le |V|$.
简单无向图任意两个非邻接结点有 $\mathrm{deg}(u)+\mathrm{deg}(v)\ge |V|-1⟹$ 存在 Hamilton 通路.
简单无向图任意两个非邻接结点有 $\mathrm{deg}(u)+\mathrm{deg}(v)\ge |V|⟹$ Hamilton 图.
简单无向图中任意结点有 $\mathrm{deg}(v)\ge \frac{|V|}{2}\ge \frac{3}{2}⟹$ Hamilton 图.
简单有向图中忽略方向的无向图中含生成完全子图 $K_{|V|}⟹$ 存在 Hamilton 通路.
旅行商问题: 最邻近 - 从某结点出发依次选取最小权邻接结点; 抄近路 - 最小生成树添加平行边, 找到 Euler 回路并得到 Hamlilton 回路.

二分图 (偶图): 无向图中 $\exists V_1,V_2⊊V$, $V_1\cup V_2=V$, $V_1\cap V_2=\varnothing$, ∀ e = { v 1 , v 2 } ∈ E \forall e=\{v_1,v_2\}\in E ∀e={ v1​,v2​}∈E, $v_1\in V_1$, $v_2\in V_2$; $V_1,V_2$ 为互补结点子集.
完全二分图: $\forall v_1\in V_1,v_2\in V_2$, $\exists !e\in E$, e = { v 1 , v 2 } e=\{v_1,v_2\} e={ v1​,v2​}.
无向图为偶图 $⟺$ 所有回路长度均为偶数.
匹配: 偶图中 $\forall v_1\in V_1$, $\exists e\in E,v_2\in V_2$, $e=(v_1,v_2)$; 即 $E$ 为 $V_1$ 到 $V_2$ 单射的扩张.
Hall: 偶图存在 $V_1$ 到 $V_2$ 的匹配 $⟺V_1$ 中任意 $k$ 个结点至少与 $V_2$ 中 $k$ 个结点相邻.
偶图中 $V_1$ 中每个结点至少关联 $t$ 条边且 $V_2$ 中每个结点至多关联 $t$ 条边 $⟹$ 存在 $V_1$ 到 $V_2$ 的匹配.

平面图: 平面中无向图边交点只有公共结点; 边包围内部不含边和结点的为面, 面的边界长度为次数; 平面图只有一个无限面.
平面图所有面的次数之和为边数的 $2$ 倍.
Euler: 连通平面图中, 结点数 $-$ 边数 $+$ 面数 $=2$.
$|E|\ge 2$ 简单连通平面图 $⟹|E|\le 3|V|-6$.
简单连通平面图, 每个面次数至少为 $D\ge 3⟹|E|\le \frac{D}{D-2}(|V|-2)$.
Kuratowski: 平面图 $⟺$ 任何子图不会收缩为 $K_5$ 或 $K_{3,3}$.