【离散数学】同态

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同态
设A=<S, *, Δ, k>和A’=<S’, *’, Δ’, k’>是两个具有相同构成的代数系统，f是从S到S’的一个映射，且对任意a,b∈S满足：
f(a*b) = f(a) *’ f(b)
f(Δa) = Δ’f(a)
f(k) = k’
则称f为由A到A’的一个同态映射，简称同态。A同态于A’,记作A~A’。

同态象
设f是从A=<S, *, Δ, k>到A’=<S’, *’, Δ’, k’>的一个同态映射，称<f(S), *’, Δ’, k’>为A在映射f下的同态象，其中

设f是由A={S, *, Δ, k}到A’={S’, *', Δ', k'}的一个同态。
满同态：若f是满射的，则称f为由A到A’的一个满同态。A’就是A在满同态f下一个同态象。
单一同态：若f是单射的，则称f为由A到A’的一个单一同态。显然，A在单一同态f下的同态象<f(S), *',  Δ', k'>与A同构。
同构：若f是双射的，则称f为由A到A’的一个同构映射，简称同构。A同构于A’，记作AA’。
自同态：若A’=A，则称f为A上的自同态。
自同构：若A’=A且f是双射的，则称f为A上的自同构。

例1
N是自然数集合，+是N上的普通加法运算，设Nk={0, 1, 2, …, k-1}，+k是定义在N上的模k加法运算，设函数f: N→Nk定义为f(x)=x (mod k)。证明：f是从<N, +, 0>到<Nk, +k, 0>的一个满同态映射。
解：(a)显然，f是从N到Nk的满射。
(b)任取x,y∈N，有f(x+y)=(x+y)(mod k) = (x(mod k) + y(mod k)) (mod k) = (x(mod k)) +k (y(mod k))=f(x)+kf(y)。
(c) f(0)=0。
所以，f是从<N, +, 0>到<Nk，+k, 0>的一个满同态。