一、代数系统的基本性质
基本要求：
- 定义的运算满足映射的唯一性——复合函数定义
- 封闭性
1 涉及一个二元运算
交换律
结合律 左结合且右结合 证明不满足结合律只能找反例
幂等律
消去律
2 涉及两个不同二元运算
分配律（二元运算）左分配且右分配
e.g<X,*,+>,*对+满足分配律的话应该有：
任意x1,x2,x3属于X,
左分配：x1*(x2+x3)=x1*x2+x1*x3
&&
右分配：(x2+x3)*x1=x2*x1+x3*x1
or 只证明一边，再证明交换律成立
吸收律——针对可交换的两个运算
3 二元运算的特异元素
幺元 左幺元 && 右幺元
零元 左零元 && 右零元
幂等元 运算表对角线元素为对应列的一个元素叫幂等元
可逆元及其逆元
二、同构 & 同态
- 求解两个代数系统之间的同构/同态
- 判断某个函数是否为两个代数系统之间的同构（同态）
- 证明f是V1到V2的同态映射の步骤：
- 判断两个代数系统是不是同类型的
- 看f的定义域是否和V1的定义域相同，以及f的值域是否是V2定义域的子集
- 判断所有元素是否满足运算的像等于像的运算
- 证明f是V1到V2的同构映射の步骤：
- 判断两个代数系统是不是同类型的
- 看f是不是双射、f的定义域是否和V1的定义域相同，以及f的值域是否与V2定义域相同
- 判断所有元素是否满足运算的像等于像的运算
- 证明f是V1到V2的同态映射の步骤：
已知同类型的代数系统S1=<U,+> S2= <V,*>和映射f:U->V
| 代数系统的同类型 |
可以在两个运算集合上定义一个双射，使每个原像和对应像点运算元数相同 |
| 代数系统的同态 |
f(u1+u2) = f(u1)*f(u2) |
| 代数系统的同构 |
f为双射且f(u1+u2)=f(u1)*f(u2) |
根据f的类型，可以产生不同的映射：
- f为满射，则f为两个代数系统之间的满同态映射
- f为单射，f为两个代数系统之间的单一同态映射
- f为内射，且两个代数系统相同，则f为两个代数系统之间的自同态映射
- f是双射，f为两个代数系统之间的同构映射
- f为双射，且两代数系统相同，f为两个代数系统之间的自同构映射
积代数 S1xS2=<UxV,#>,对任意<u,v><uu,vv>属于UxV,<u,v>#<uu,vv> =< u+uu , v*vv >
...........n个小代数系统可以生成大的代数系统
同余关系
给定<S,*>,E为S中的等价关系，E关于*有代换性质，即
任意x,xx,y,yy属于S,其中x,xx在一个等价类里（xExx），y,yy在一个等价类里(yEyy)，
那么x*y和xx*yy在一个等价类里((x*y)E(xx*yy))
同余关系の性质：
从任何一个同态映射中可以诱导出一个同余关系
商代数：一个很大的代数系统可以生成若干个小代数系统~运算的等价类等于等价类的运算
商代数の性质:
一个代数系统和其商代数同态，并且可以构造从这个运算到其商代数的自然同态映射g(x) = [x]_R