1 代数系统

1.1 二元运算及其性质

1.1.1 二元运算

1.1.1.1 定义

设 $S$ 为集合，函数 $f : S \times S \to S$ 称为 $S$ 上的二元运算。

这时也称 $S$ 对 $f$ 是封闭的

1.1.1.2 验证方法

$S$ 中任何两个元素都可以进行这种运算，且运算的结果是唯一的
$S$ 中任何两个元素的运算结果都属于 $S$ ，即 $S$ 对该运算是封闭的

1.1.2 一元运算

设 $S$ 为集合，函数 $f : S \to S$ 称为 $S$ 上的一元运算。

这时也称 $S$ 对 $f$ 是封闭的

1.1.3 算符

1.1.4 表示法

1.1.4.1 表达式

1.1.4.2 运算表

1.1.5 二元运算的性质

1.1.5.1 涉及一个二元运算的算律

1.1.5.1.1 交换律

1.1.5.1.2 结合律

1.1.5.1.3 幂等律

1.1.5.1.4 消去律

1.1.5.2 涉及两个不同二元运算的算律

1.1.5.2.1 分配律

1.1.5.2.2 吸收率

1.1.6 特异元素

1.1.6.1 单位元（幺元）

单位元如果存在，则是唯一的

1.1.6.2 零元

零元如果存在，则是唯一的

如果 $|S| > 1$ ，则单位元不等于零元

1.1.6.3 幂等元

1.1.6.4 可逆元及其逆元

对于可结合的二元运算，可逆元素 $x$ 只有唯一的逆元 $x _ {-1}$

1.2 代数系统

1.2.1 代数系统（代数）

非空集合 $S$ 与 $S$ 上的 $k$ 个一元或二元运算 $f _ 1, f _ 2, \cdots, f _ k$ 组成的系统称作一个代数系统，简称代数，记作 $<S, f _ 1, f _ 2, \cdots, f _ k>$

1.2.2 特异元素（代数常数）

1.2.3 同类型的代数系统

如果两个代数系统中的运算的个数相同，对应运算的元数也相同，且代数常数的个数也相同，则称这两个代数系统具有相同的构成成分，也称它们是同类型得代数系统

1.2.4 同种的代数系统

1.2.5 子代数

1.2.5.1 子代数系统

设 $V = <S, f _ 1, f _ 2, \cdots, f _ k>$ 是代数系统， $B \subseteq S$ ，如果 $B$ 对 $f _ 1, f _ 2, \cdots, f _ k$ 都是封闭的，且 $B$ 和 $S$ 含有相同的代数常数，则称 $<B , f _ 1, f _ 2 , \cdots , f _ k>$ 是 $V$ 的子代数系统，简称子代数。有时将子代数系统简称为 $B$

$V$ 的子代数与 $V$ 不仅是同类型的，也是同种的。

1.2.5.2 平凡子代数

最大的（原代数系统）和最小的子代数称为 $V$ 的平凡子代数

1.2.5.3 真子代数

若 $B$ 是 $S$ 的真子集，则 $B$ 构成的子代数称为 $V$ 的真子代数

1.2.6 积代数

1.2.6.1 定义

设 $V _ 1 = <A, \circ >$ 和 $V _ 2 = < B, *>$ 是同类型的代数系统， $\circ, *$ 为二元运算，在集合 $A \times B$ 上如下定义二元运算 $\cdot$

$\forall <a _ 1, b _ 1>, <a _ 2, b _ 2> \in A \times B$ ，有

< a_{1}, b_{1} > \cdot < a_{2}, b_{2} >=< a_{1} \circ a_{2}, b_{1} * b_{2} >

$<a _ 1, b _ 1> \cdot <a _ 2, b _ 2> = <a _ 1 \circ a _2, b _ 1 * b _ 2>$

称 $V = <A \times B, \cdot>$ 为 $V _ 1$ 与 $V _ 2$ 的积代数，记作 $V _ 1 \times V _ 2$ ，这时也称 $V _ 1, V _2$ 为 $V$ 的因子代数

1.2.6.2 保留性质

积代数能够保持因子代数的一些性质：交换律、结合律、幂等律、分配律、吸收率、单位元、零元、可逆元素等

不一定保留：消去律

1.3 代数系统的同态与同构

1.3.1 同态映射

1.3.1.1 定义

设 $V _ 1 = <A, \circ>$ 和 $V _ 2 = <B, *>$ 是同类型的代数系统， $f : V _ 1 \to V _ 2$ ，且 $\forall x, y \in A$ 与 $f(x \circ y) = f(x) * f(y)$ ，则称 $f$ 是 $V_1$ 到 $V _ 2$ 的同态映射，简称同态

1.3.1.2 单同态

$f$ 是单射函数

1.3.1.3 满同态

$f$ 是满射函数

1.3.1.4 同构

$f$ 是双射函数

1.3.2 自同态

1.3.2.1 定义

如果同态映射 $f$ 是 $V$ 到 $V$ 的，则称 $f$ 为自同态

1.3.2.2 单自同态

1.3.2.3 满自同态

1.3.2.4 自同构

2 群与环

2.1 群的定义及其性质

2.1.1 半群与独异点（幺半群）

2.1.1.1 半群

设 $V = <S, \circ>$ 为代数系统， $\circ$ 为二元运算，如果 $\circ$ 是可结合的，则称 $V$ 为半群

2.1.1.2 独异点

设 $V = <S, \circ>$ 为半群，若 $e \in S$ 是关于 $\circ$ 运算的单位元，则称 $V$ 是幺半群，也称作独异点，记作 $V = <S, \circ , e>$

2.1.1.3 幂运算

2.1.1.4 子半群与子独异点

2.1.2 群

2.1.2.1 定义

设 $<G, \circ>$ 为代数系统， $\circ$ 为二元运算，如果 $\circ$ 是可结合的，存在 $e \in G$ ，并且对于 $G$ 中的任意元素 $x$ 都有 $x ^ {-1} \in G$ ，则称 $G$ 为群。

2.1.2.2 实例

2.1.2.2.1 整数加群

2.1.2.2.2 实数加群

2.1.2.2.3 有理数加群

2.1.2.2.4 复数加群

2.1.2.3 元素的幂

$a \in G, n \in Z$ ，则 $a$ 的 $n$ 次幂

a^{n} = {\begin{aligned} e & n = 0 \\ a^{n - 1} a & n > 0 \\ (a^{- 1})^{m}, & n < 0 & , n = - m \end{aligned}

$a ^ n = \left \{ \begin{aligned} &e &n = 0&\\ &a ^ {n - 1} a &n > 0&\\ &(a ^ {-1}) ^ m, &n < 0&, n = -m \end{aligned} \right.$

2.1.2.4 元素的阶

设 $G$ 是群 $a \in G$ ，使得等式 $a ^ k = e$ 成立的最小正整数 $k$ 称为 $a$ 的阶，记作 $|a| = k$ 称 $a$ 为 $k$ 阶元。若不存在这样的正整数 $k$ ，则称 $a$ 为无限阶元

2.1.2.5 幂运算性质

2.1.2.5 消去律

2.1.2.6 阶的性质

$G$ 为群， $a \in G$ 且 $|a| = r$ ，设 $k$ 是整数，则 $a ^ k = e \Leftrightarrow r | k$ 且有 $| a ^ {-1} | = | a |$

2.1.2.7 特殊的群

2.1.2.7.1 有限群与无限群

2.1.2.7.2 平凡群

2.1.2.7.3 交换群（阿贝尔（Abel）群）

2.2 子群与群的陪集分解

2.2.1 子群

2.2.1.1 定义

子群就是群的子代数

设 $G$ 是群， $H$ 是 $G$ 的非空子集，如果 $H$ 关于 $G$ 中的运算构成群，则称 $H$ 是 $G$ 的子群，记作 $H \le G$ ，若 $H$ 是 $G$ 的子群，且 $H \subset G$ ，则称 $H$ 是 $G$ 的真子群，记作 $H < G$

2.2.1.2 判定定理

设 $G$ 为群， $H$ 为 $G$ 的非空子集

$H \le G \Leftrightarrow \forall a, b \in H$ 有 $ab = ac \Rightarrow b = c 和 ba = ca \Rightarrow b = c$
$H \le G \Leftrightarrow \forall a, b \in H$ 有 $a b ^ {-1} \in H$
$H$ 是 $G$ 的非空有穷子集，则 $H \le G \Leftrightarrow \forall a, b \in H$ 有 $ab \in H$

2.2.1.3 生成子群

元素 $a$ 的生成子群 $<a> = \{ a ^ k | k \in Z \}$

2.2.1.4 中心

C = {a | a \in G \land \forall x \in G (a x = x a)}

$C = \{ a | a \in G \wedge \forall x \in G (ax = xa) \}$

2.2.1.5 运算性质

子群的交仍是子群，两个子群的并一般不构成子群

2.2.1.6 子群格

偏序集 $<L (G), \subseteq>$ 称为子群格，其中 $L (G) = \{ H | H 是 G 的子群 \}$

2.2.2 群的分解

2.2.2.1 陪集

2.2.2.1.1 定义

设 $H \le G, a \in G$ ，称 $H a = \{ ha | h \in H \}$ 是 $H$ 在 $G$ 中的右陪集， $a$ 为 $Ha$ 的代表元素

2.2.2.1.2 性质

设 $H$ 是群 $G$ 的子群

$H e = H$
$\forall a \in G$ 有 $a \in Ha$
$a \in Hb \Leftrightarrow a b ^ {-1} \in H \Leftrightarrow Ha = Hb$
在 $G$ 上定义关系 $R : \forall a, b \in G, <a, b> \in R \Leftrightarrow a b ^ {-1} \in H$ ，则 $R$ 是 $G$ 上的等价关系，且 $[a]_R = Ha$
$\forall a \in G, H \approx Ha$

2.2.2.2 拉格朗日定理

2.2.2.2.1 描述

设 $G$ 是有限群， $H$ 是 $G$ 的子群，则 $|G| = |H| \cdot [G : H]$ ，其中 $[G : H]$ 是 $H$ 的陪集个数，称为 $H$ 在 $G$ 中的指数

2.2.2.2.2 重要推论

设 $G$ 是 $n$ 阶群，则 $\forall a \in G, |a|$ 是 $n$ 的因子，且有 $a ^ n = e$
阶为素数的群 $G$ 一定是循环群

2.2.2.3 正规子群（不变子群）

2.3 循环群与置换群

2.3.1 循环群

2.3.1.1 定义

若存在 $a \in G$ 使得 $G = <a>$ ，则称 $G$ 为循环群，称 $a$ 为 $G$ 的生成元

2.3.1.2 n阶循环群

2.3.1.3 无限循环群

2.3.1.4 生成元的性质

2.3.1.4.1 无限循环群

若 $G$ 是无限循环群，则 $G$ 只有两个生成元，即 $a$ 和 $a ^ {-1}$

2.3.1.4.2 n阶循环群

若 $G$ 是 $n$ 阶循环群，则 $G$ 含有 $\phi (n)$ 个生成元，对于任何小于 $n$ 且与 $n$ 互素的自然数 $r$ ， $a ^ r$ 是 $G$ 的生成元

2.3.1.5 子群的性质

2.3.1.5.1 循环群

设 $G = <a>$ 是循环群，则 $G$ 的子群仍是循环群

2.3.1.5.2 无限循环群

设 $G = <a>$ 是无限循环群，则 $G$ 的子群除 $\{e\}$ 以外都是无限循环群

2.3.1.5.3 n阶循环群

设 $G = <a>$ 是 $n$ 阶循环群，则对 $n$ 的每个正因子 $d$ ， $G$ 恰好含有一个 $d$ 阶子群

2.3.2 置换群

2.3.2.1 n元置换

2.3.2.1.1 定义

设 $S = {1, 2, \cdots , n}$ ， $S$ 上的任何双射函数 $\sigma : S \to S$ 称为 $S$ 上的 $n$ 元置换

2.3.2.1.2 表示方法

置换符号表示
不相交的轮换表示
对换表示

2.3.2.1.3 k阶轮换

2.3.2.2 奇置换与偶置换

如果 $n$ 元置换 $sigma$ 可以表示成奇数个对换之积，则称 $sigma$ 为奇置换，否则称为偶置换

2.3.2.3 实例

2.3.2.3.1 n元对称群

2.3.2.3.2 n元交错群

2.3.2.3.3 n元置换群（S 的子群）

2.3.2.4 Polya计数定理

设 $N = \{ 1, 2, \cdots, n \}$ 是被着色的物体的集合， $G = \{ \sigma _ 1, \sigma _ 2, \cdots , \sigma _ b \}$ 为 $N$ 上的置换群。用 $m$ 种颜色对 $N$ 中的元素进行着色，则在 $G$ 的作用下不同的着色方案数是

M = \frac{1}{| G |} \sum_{k = 1}^{g} m^{c (σ_{k})}

$M = \frac {1} {|G|} \sum _ { k = 1 } ^ g m ^ {c (\sigma _ k)}$

其中， $c (\sigma _ k)$ 表示 $\sigma _ k$ 的轮换表达式中包括 $1-$ 轮换在内的轮换个数

2.4 环与域

2.4.1 环

2.4.1.2 定义

设 $<R, +, \cdot>$ 是代数系统， $+$ 和 $\cdot$ 是二元运算，如果满足以下条件：

$<R, +>$ 构成交换群
$<R, \cdot >$ 构成半群
$\cdot$ 运算关于 $+$ 运算适合分配律

则称 $<R, +, \cdot >$ 是一个环

2.4.1.3 性质

2.4.1.4 实例

2.4.1.4.1 整数环 Z

2.4.1.4.2 有理数环 Q

2.4.1.4.3 实数环 R

2.4.1.4.4 复数环 C

2.4.1.5 特殊的环

2.4.1.5.1 交换环

2.4.1.5.2 含幺环

2.4.1.5.3 无零因子环

2.4.1.5.4 整环

若 $R$ 既是交换环，含幺环，也是无零因子环，则称 $R$ 为整环

2.4.2 域

2.4.2.1 定义

设 $R$ 是整环，且 $R$ 中至少含有两个元素，若 $\forall a \in R ^ * = R - \{ 0 \}$ ，都有 $a ^ {-1} \in R$ ，则称 $R$ 是域

2.4.2.2 实例

2.4.2.2.1 Q

2.4.2.2.2 R

2.4.2.2.3 C

2.4.3 素数判断法

2.4.3.1 费马小定理

如果 $p$ 是素数，则对所有的 $n \ne 0 (mod p)$ 有 $n ^ {p - 1} \equiv 1 (mod p)$

2.4.3.2 命题

如果 $p$ 是素数，则在域 $Z _ n$ 中的方程 $x ^ 2 \equiv 1 (mod n)$ 的根只有两个，即 $x = 1, x = n - 1$

离散数学 代数结构