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代数的组成
1.载体，即非空集合
2.定义在载体上的封闭运算
3.代数常元，即载体上某些运算的特异元素（不一定存在）
代数通常用载体、运算和常数组成的n重组表示。
同时具备如下两条规则的几个代数称为同种类的：
1.如果两个代数包含相同个数的运算和常数，且对应运算的元数相同，则称两个代数有相同的构成成分。
2.要有一组相同的称为公理的规则
对同一种类的代数，根据它的公理推出的一切定理，对该种类的一切代数都成立。
代数运算
设A,B是非空集合，是从
到
的一个映射，则称
为从集合
到B的一个n元代数运算，简称运算，n称为代数运算的阶。
运算的封闭性
设是从
到
的一个n元运算，若
，则称该n元运算在集合A上是封闭的。
特别地，设f是从A到B的映射，则称f是一个在A上封闭的一元运算。设f是从A²到B的映射，则称f是一个在A上的封闭的二元运算。
交换律
设*是定义在集合A上的一个二元运算，如果任取x,y∈A，都有x*y=y*x，则称该二元运算是可交换的。
结合律
设*是定义在集合A上的一个二元运算，如果对于任意x,y,z∈A ，都有x*(y*z)=(x*y)*z,则称该二元运算是可结合的。
分配律
设*和+是定义在集合A上的二元运算，如果对任意的a,b,c∈A，都有
*对+左可分配，即a*(b+c)=(a*b)+(a*c)
*对+右可分配，即(b+c)*a=(b*a)+(c*a)
则称*对+是可分配的。
吸收律
设*和+是定义在集合A上的二元运算，如果对于任意的a,b∈A ,都有
*对+左可吸收，即a*(a+b)=a
*对+右可吸收，即(a+b)*a=a
则称运算*对+满足吸收律。
等幂律
设*是定义在集合A上的一个二元运算，如果对于任意x∈A，都有x*x=x，则称运算*满足等幂律。
消去律
设*是定义在集合上的一个二元运算，元素a∈A，如果对于任意x,y∈A,都有
a是左可消去的，即
a是右可消去的，即
则称a关于运算*是可消去的。若A中的所有元素都是可消去的，则称运算*满足消去律。
代数常元
代数系统中，针对某一代数运算表现出具有某些特殊性质的元素称为代数常元，常见的有：幺元、零元、逆元、等幂元等。
幺元
左幺元：设*是定义在集合A上的一个二元运算，若存在元素e，对于A中的任意元素x，都有e*x=x，则称e为A中关于运算*的左幺元。
右幺元：设*是定义在集合A上的一个二元运算，若存在元素e，对于A中的任意元素元素x，都有x*e=x，则称e为A中关于运算*的右幺元。
幺元：设*是定义在集合A上一个二元运算，若存在元素e，它既是左幺元，又是右幺元，即对于A中的任意元素x，都有e*x=x*e=x，则称e为A中关于运算*的幺元，亦称作单位元。
相关定理：
设*是定义在集合A上的一个二元运算，且在A中有关于运算*的左幺元el和右幺元er，则el=er，且A中的幺元是唯一的。
证明：设el和er分别是A中关于运算*的左幺元和右幺元，则有el=el*er=er=e，假设另有幺元e'∈A, 则有e'=e'*e=e，结论得证。
零元
左零元：设*是定义在集合A上的一个二元运算，若存在元素θ∈A，对于A中的任意元素x，都有θ*x=θ，则称θ为A中关于运算*的左零元。
右零元：设*是定义在集合A上的一个二元运算，若存在元素θ∈A，对于A中的任意元素x，都有x*θ=θ，则称θ为A中关于运算*的右零元。
零元：设*是定义在集合A上一个二元运算，若存在元素θ，它既是左零元，又是右零元，即对于A中的任意元素x，都有θ* x=x*θ=θ，则称θ为A中关于运算*的零元。
相关定理：
设*是定义在集合A上一个二元运算，且在A中有关于运算*的左零元θl和右零元θr,那么θl=θr，且A中的零元是唯一的。
证明：设θl和θr分别是A中关于运算*的左零元和右零元，则有θr=θl*θr=θl=θ，假设另有零元θ'∈A, 则有θ'=θ'*θ=θ，结论得证。
逆元
设<A,*>是一个代数系统，*是定义在集合A上的一个二元运算，e是A中关于运算*的幺元。存在x,y∈A，如果x*y=e，那么关于运算*，x是y的左逆元，y是x的右逆元。如果x*y=y*x=e，那么关于运算*，x与y互为逆元。x的逆元记为。
相关定理：
设<A,*>是一个代数系统，*是定义在集合A上的一个二元运算，e是A中关于运算*的幺元。若运算*是可结合的，元素x有左逆元l和右逆元r，则l=r，且逆元唯一。
证明：因为e是A中关于运算*的幺元且x有左逆元l和右逆元r，则有l*x=x*r=e，又运算是可结合的，所以l=l*e=l*(x*r)=(l*x)*r=e*r=r。设元素x有两个逆元b和c，那么b=b*e=b*(x*c)=(b*x)*c=e*c=c，因此，x的逆元是唯一的。