离散数学答案

1-1，1-2解：

1. 是命题，真值为T。
2. 不是命题。
3. 是命题，真值要根据具体情况确定。
4. 不是命题。
5. 是命题，真值为T。
6. 是命题，真值为T。
7. 是命题，真值为F。
8. 不是命题。
9. 不是命题。
解：

原子命题：我爱北京天安门。

复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。

解：
1. (┓P ∧R)→Q
2. Q→R
3. ┓P
4. P→┓Q
解：

a)设Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。

Q« (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。

b)设R:我在看电视。Q:我在吃苹果。

R∧Q:我在看电视边吃苹果。

c) 设Q:一个数是奇数。R:一个数不能被2除。

（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。

(5) 解：

设P：王强身体很好。Q：王强成绩很好。P∧Q
设P：小李看书。Q：小李听音乐。P∧Q
设P：气候很好。Q：气候很热。P∨Q
设P： a和b是偶数。Q：a+b是偶数。P→Q
设P：四边形ABCD是平行四边形。Q ：四边形ABCD的对边平行。P«Q
设P：语法错误。Q：程序错误。R：停机。（P∨ Q）→ R

(6) 解：

P:天气炎热。Q:正在下雨。 P∧Q
P:天气炎热。R:湿度较低。 P∧R
R:天正在下雨。S:湿度很高。 R∨S
A:刘英上山。B:李进上山。 A∧B
M:老王是革新者。N:小李是革新者。 M∨N
L:你看电影。M:我看电影。 ┓L→┓M
P:我不看电视。Q:我不外出。 R:我在睡觉。 P∧Q∧R
P:控制台打字机作输入设备。Q:控制台打字机作输出设备。P∧Q

1-3

（1）解：

1. 不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）
2. 是合式公式
3. 不是合式公式（括弧不配对）
4. 不是合式公式（R和S之间缺少联结词）
5. 是合式公式。

（2）解：

A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B)) 是合式公式。这个过程可以简记为：

A；(A∨B)；(A→(A∨B))

同理可记

A；┓A ；(┓A∧B) ；((┓A∧B)∧A)
A；┓A ；B；(┓A→B) ；(B→A) ；((┓A→B)→(B→A))
A；B；(A→B) ；(B→A) ；((A→B)∨(B→A))

（3）解：

((((A→C)→((B∧C)→A))→((B∧C)→A))→(A→C))
((B→A)∨(A→B))。

（4）解：

a) 是由c) 式进行代换得到，在c) 中用Q代换P, (P→P)代换Q.

d) 是由a) 式进行代换得到，在a) 中用 P→(Q→P)代换Q.

e) 是由b) 式进行代换得到，用R代换P, S代换Q, Q代换R, P代换S.

∨

（5）解：

a) P: 你没有给我写信。 R: 信在途中丢失了。 P Q

b) P: 张三不去。Q: 李四不去。R: 他就去。 (P∧Q)→R

c) P: 我们能划船。 Q: 我们能跑步。 ┓(P∧Q)

d) P: 你来了。Q: 他唱歌。R: 你伴奏。 P→(Q«R)

（6）解：

P:它占据空间。 Q:它有质量。 R:它不断变化。 S:它是物质。

这个人起初主张：(P∧Q∧R) « S

后来主张：(P∧Q«S)∧(S→R)

这个人开头主张与后来主张的不同点在于：后来认为有P∧Q必同时有R，开头时没有这样的主张。

（7）解：

a) P: 上午下雨。 Q:我去看电影。 R:我在家里读书。 S:我在家里看报。(┓P→Q)∧(P→(R∨S))

b) P: 我今天进城。Q:天下雨。┓Q→P

c) P: 你走了。 Q:我留下。Q→P

1-4

（4）解：a)

P Q R

Q∧R

P∧(Q∧R)

P∧Q

(P∧Q)∧R

T T T

T T F

T F T

T F F

F T T

F T F

F F T

F F F

所以，P∧(Q∧R) Û (P∧Q)∧R

P Q R

Q∨R

P∨(Q∨R)

P∨Q

(P∨Q)∨R

T T T

T T F

T F T

T F F

F T T

F T F

F F T

F F 　F　

Ｔ

Ｆ

Ｔ

Ｆ

Ｔ

Ｆ　

　　　Ｔ

　　　Ｆ

　　　Ｔ

　　　Ｆ

所以，P∨(Q∨R) Û (P∨Q)∨R　

ｃ）

Ｐ　Ｑ　Ｒ

Ｑ∨Ｒ

Ｐ∧（Ｑ∨Ｒ）

Ｐ∧Ｑ

Ｐ∧Ｒ

（Ｐ∧Ｑ）∨（Ｐ∧Ｒ）

Ｔ　Ｔ　Ｔ

Ｔ　Ｔ　Ｆ

Ｔ　Ｆ　Ｔ

Ｔ　Ｆ　Ｆ

Ｆ　Ｔ　Ｔ

Ｆ　Ｔ　Ｆ

Ｆ　Ｆ　Ｔ

Ｆ　Ｆ　Ｆ

Ｔ

Ｆ

Ｔ

Ｆ

Ｔ

Ｆ

Ｔ

Ｆ

Ｔ

Ｆ

Ｔ

Ｆ

Ｔ

Ｆ

所以，P∧(Q∨R) Û (P∧Q)∨(P∧R)　

ｄ）

P Q

┓P

┓Q

┓P∨┓Q

┓(P∧Q)

┓P∧┓Q

┓(P∨Q)

T T

T F

F T

F F

所以，┓(P∧Q) Û┓P∨┓Q, ┓(P∨Q) Û┓P∧┓Q

（5）解：如表，对问好所填的地方，可得公式F1～F6，可表达为

P	Q	R	F1	F2	F3	F4	F5	F6
T	T	T	T	F	T	T	F	F
T	T	F	F	F	T	F	F	F
T	F	T	T	F	F	T	T	F
T	F	F	F	T	F	T	T	F
F	T	T	T	F	F	T	T	F
F	T	F	T	F	F	F	T	F
F	F	T	T	F	T	T	T	F
F	F	F	F	T	F	T	T	T

F1:(Q→P)→R

F2:(P∧┓Q∧┓R)∨(┓P∧┓Q∧┓R)

F3:(P←→Q)∧(Q∨R)

F4:(┓P∨┓Q∨R)∧(P∨┓Q∨R)

F5:(┓P∨┓Q∨R)∧(┓P∨┓Q∨┓R)

F6:┓(P∨Q∨R)

(6)

解：由上表可得有关公式为

1.F 2.┓(P∨Q) 3.┓(Q→P) 4.┓P

5.┓(P→Q) 6.┓Q 7.┓(P«Q) 8.┓(P∧Q)

9.P∧Q 10.P«Q 11.Q 12.P→Q

13.P 14.Q→P 15.P∨Q 16.T

(7) 证明：

A→(B→A)Û ┐A∨(┐B∨A)

Û A∨(┐A∨┐B)

Û A∨(A→┐B)

Û┐A→(A→┐B)

┐(A«B) Û┐((A∧B)∨(┐A∧┐B))

Û┐((A∧B)∨┐(A∨B))

Û(A∨B)∧┐(A∧B)

或 ┐(A«B) Û┐((A→B)∧(B→A))

Û┐((┐A∨B)∧(┐B∨A))

Û┐((┐A∧┐B)∨(┐A∧A)∨(B∧┐B)∨(B∧A))

Û┐((┐A∧┐B)∨(B∧A))

Û┐(┐(A∨B))∨(A∧B)

Û(A∨B)∧┐(A∧B)

┐(A→B) Û ┐(┐A∨B) ÛA∧┐B
┐(A«B)Û┐((A→B)∧(B→A))

Û┐((┐A∨B)∧(┐B∨A))

Û(A∧┐B)∨(┐A∧B)

(((A∧B∧C)→D)∧(C→(A∨B∨D)))

Û(┐(A∧B∧C)∨D)∧(┐C∨(A∨B∨D))

Û(┐(A∧B∧C)∨D)∧(┐(┐A∧┐B∧C)∨D)

Û (┐(A∧B∧C)∧┐(┐A∧┐B∧C))∨D

Û((A∧B∧C)∨(┐A∧┐B∧C))→D

Û (((A∧B)∨(┐A∧┐B))∧C)→D

Û ((C∧(A«B))→D)

A→(B∨C) Û ┐A∨(B∨C)

Û (┐A∨B)∨C

Û┐(A∧┐B)∨C

Û (A∧┐B)→C

(A→D)∧(B→D)Û(┐A∨D)∧(┐B∨D)

Û(┐A∧┐B)∨D

Û ┐(A∨B)∨D

Û (A∨B)→D

((A∧B)→C)∧(B→(D∨C))

Û(┐(A∧B)∨C)∧(┐B∨(D∨C))

Û (┐(A∧B)∧(┐B∨D))∨C

Û(┐(A∧B) ∧┐(┐D∧B))∨C

Û┐((A∧B)∨(┐D∧B))∨C

Û ((A∨┐D)∧B)→C

Û (B∧(D→A))→C

（8）解：

((A→B) « (┐B→┐A))∧C

Û ((┐A∨B) « (B∨┐A))∧C

Û ((┐A∨B) « (┐A∨B))∧C

ÛT∧CÛC

A∨(┐A∨(B∧┐B)) Û (A∨┐A)∨(B∧┐B) ÛT∨F ÛT
(A∧B∧C)∨(┐A∧B∧C)

Û (A∨┐A) ∧(B∧C)

ÛT∧(B∧C)

ÛB∧C

（9）解：1）设C为T，A为T，B为F，则满足A∨CÛB∨C，但AÛB不成立。

2）设C为F，A为T，B为F，则满足A∧CÛB∧C，但AÛB不成立。

3）由题意知┐A和┐B的真值相同，所以A和B的真值也相同。

习题 1-5

证明：
1. (P∧(P→Q))→Q

Û(P∧(┐P∨Q))→Q

Û(P∧┐P)∨(P∧Q)→Q

Û(P∧Q)→Q

Û┐(P∧Q)∨Q

Û┐P∨┐Q∨Q

Û┐P∨T

ÛT

1. ┐P→(P→Q)

ÛP∨(┐P∨Q)

Û (P∨┐P)∨Q

ÛT∨Q

ÛT

1. ((P→Q)∧(Q→R))→(P→R)

因为(P→Q)∧(Q→R)Þ(P→R)

所以(P→Q)∧(Q→R)为重言式。

1. ((a∧b)∨(b∧c) ∨(c∧a))«(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a)

因为((a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a))

Û((a∨c)∧b)∨(c∧a)

Û((a∨c)∨(c∧a))∧(b∨(c∧a))

Û(a∨c)∧(b∨c)∧(b∨a)

所以((a∧b)∨(b∧c) ∨(c∧a))«(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a) 为重言式。

证明：

a)(P→Q)ÞP→(P∧Q)

解法1：

设P→Q为T

（1）若P为T，则Q为T，所以P∧Q为T，故P→(P∧Q)为T

（2）若P为F，则Q为F，所以P∧Q为F，P→(P∧Q)为T

命题得证

解法2：

设P→(P∧Q)为F，则P为T，(P∧Q)为F，故必有P为T，Q为F，所以P→Q为F。

解法3：

(P→Q) →(P→(P∧Q))

Û┐(┐P∨Q)∨(┐P∨(P∧Q))

Û┐(┐P∨Q)∨((┐P∨P)∧(┐P∨Q))

ÛT

所以(P→Q)ÞP→(P∧Q)

b)(P→Q)→QÞP∨Q

设P∨Q为F，则P为F，且Q为F，

故P→Q为T，(P→Q)→Q为F，

所以(P→Q)→QÞP∨Q。

c)(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))ÞR→Q

设R→Q为F，则R为T，且Q为F，又P∧┐P为F

所以Q→(P∧┐P)为T，R→(P∧┐P)为F

所以R→(R→(P∧┐P))为F，所以(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))为F

即(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))ÞR→Q成立。

解：
1. P→Q表示命题“如果8是偶数，那么糖果是甜的”。

a)的逆换式Q→P表示命题“如果糖果是甜的，那么8是偶数”。
a)的反换式┐P→┐Q表示命题“如果8不是偶数，那么糖果不是甜的”。
a)的逆反式┐Q→┐P表示命题“如果糖果不是甜的，那么8不是偶数”。

解：

如果天下雨，我不去。

设P：天下雨。Q：我不去。P→Q

逆换式Q→P表示命题:如果我不去，则天下雨。

逆反式┐Q→┐P表示命题:如果我去，则天不下雨

仅当你走我将留下。

设S：你走了。R：我将留下。R→S

逆换式S→R表示命题：如果你走了则我将留下。

逆反式┐S→┐R表示命题：如果你不走，则我不留下。

如果我不能获得更多帮助，我不能完成个任务。

设E：我不能获得更多帮助。H：我不能完成这个任务。E→H

逆换式H→E表示命题：我不能完成这个任务，则我不能获得更多帮助。

逆反式┐H→┐E表示命题：我完成这个任务，则我能获得更多帮助

试证明P«Q，Q逻辑蕴含P。

证明：解法1：

本题要求证明(P«Q) ∧QÞP,

设(P«Q) ∧Q为T，则(P«Q)为T，Q为T，故由«的定义，必有P为T。

所以(P«Q) ∧QÞP

解法2：

由体题可知，即证((P«Q)∧Q)→P是永真式。

((P«Q)∧Q)→P

Û (((P∧Q) ∨(┐P∧┐Q)) ∧Q)→P

Û (┐((P∧Q) ∨(┐P∧┐Q)) ∨┐Q) ∨P

Û (((┐P∨┐Q) ∧(P∨Q)) ∨┐Q) ∨P

Û ((┐Q∨┐P∨┐Q) ∧(┐Q∨P∨Q)) ∨P

Û ((┐Q∨┐P) ∧T) ∨P

Û┐Q∨┐P∨P

Û┐Q∨T

ÛT

解：

P：我学习 Q：我数学不及格 R：我热衷于玩扑克。　

如果我学习，那么我数学不会不及格： P→┐Q

如果我不热衷于玩扑克，那么我将学习: ┐R→P

但我数学不及格: Q

因此我热衷于玩扑克。 R

即本题符号化为：(P→┐Q)∧(┐R→P)∧QÞR

证：

证法1：((P→┐Q)∧(┐R→P)∧Q)→R

Û ┐((┐P∨┐Q)∧(R∨P)∧Q) ∨R

Û (P∧Q)∨(┐R∧┐P)∨┐Q∨R

Û ((┐Q∨P)∧(┐Q∨Q))∨((R∨┐R)∧(R∨┐P))

Û ┐Q∨P∨R∨┐P

Û T　

所以，论证有效。

证法2：设(P→┐Q)∧(┐R→P)∧Q为T，

则因Q为T，(P→┐Q) 为T，可得P为F，

由(┐R→P)为T，得到R为T。

故本题论证有效。

解：

P：6是偶数 Q：7被2除尽 R：5是素数

如果6是偶数，则7被2除不尽 P→┐Q

或5不是素数，或7被2除尽 ┐R∨Q

5是素数 R

所以6是奇数 ┐P

即本题符号化为：（P→┐Q）∧（┐R∨Q）∧R Þ┐P

证：

证法1：((P→┐Q)∧(┐R∨Q)∧R)→┐P

Û ┐((┐P∨┐Q) ∧(┐R∨Q) ∧R) ∨┐P

Û ((P∧Q) ∨(R∧┐Q) ∨┐R) ∨┐P

Û ((┐P∨P) ∧(┐P∨Q)) ∨((┐R∨R) ∧(┐R∨┐Q))

Û (┐P∨Q) ∨(┐R∨┐Q)

ÛT　

所以，论证有效，但实际上他不符合实际意义。

证法2：(P→┐Q)∧(┐R∨Q)∧R为T，

则有R为T，且┐R∨Q 为T，故Q为T，

再由P→┐Q为T，得到┐P为T。

证明：

PÞ(┐P→Q)

设P为T，则┐P为F，故┐P→Q为T

┐A∧B∧CÞC

假定┐A∧B∧C为T，则C为T。

CÞA∨B∨┐B

因为A∨B∨┐B为永真，所以CÞA∨B∨┐B成立。

┐(A∧B) Þ┐A∨┐B

设┐(A∧B)为T，则A∧B为F。

若A为T，B为F，则┐A为F，┐B为T，故┐A∨┐B为T。

若A为F，B为T，则┐A为T，┐B为F，故┐A∨┐B为T。

若A为F，B为F，则┐A为T，┐B为T，故┐A∨┐B为T。

命题得证。

┐A→(B∨C)，D∨E，(D∨E)→┐AÞB∨C

设┐A→(B∨C)，D∨E，(D∨E)→┐A为T，

则D∨E为T，(D∨E)→┐A为T，所以┐A为T

又┐A→(B∨C)为T，所以B∨C为T。命题得证。

(A∧B)→C，┐D，┐C∨DÞ┐A∨┐B

设(A∧B)→C，┐D，┐C∨D为T，则┐D为T，┐C∨D为T，所以C为F

又(A∧B)→C为T，所以A∧B为F，所以┐A∨┐B为T。命题得证。

（9）解：

如果他有勇气，他将得胜。

P：他有勇气 Q：他将得胜

原命题：P→Q 逆反式：┐Q→┐P 表示：如果他失败了，说明他没勇气。

仅当他不累他将得胜。

P：他不累 Q：他得胜

原命题：Q→P 逆反式：┐P→┐Q 表示：如果他累，他将失败。

习题 1-6

(1)解：

(P∧Q)∧┐PÛ(P∧┐P)∧QÛ┐(T∨Q)
(P→(Q∨┐R)) ∧┐P∧Q

Û (┐P∨(Q∨┐R))∧┐P∧Q

Û(┐P∧┓P∧Q)∨(Q∧┓P∧Q)∨(┓R∧┓P∧Q)

Û(┓P∧Q)∨(┓P∧Q)∨(┓P∧┓R∧Q)

Û┓P∧Q

Û┐(P∨┐Q)

┐P∧┐Q∧(┐R→P)

Û┐P∧┐Q∧(R∨P)

Û(┐P∧┐Q∧R)∨(┐P∧┐Q∧P)

Û(┐P∧┐Q∧R)∨F

Û┐P∧┐Q∧R

Û┐(P∨Q∨┐R)

(2) 解：

a)┐PÛ P↓P

b)P∨QÛ┐(P↓Q) Û (P↓Q)↓(P↓Q)

c)P∧QÛ┐P↓┐QÛ (P↓P)↓(Q↓Q)

(3)解：

P→(┐P→Q)

Û┐P∨(P∨Q)

ÛT

Û┐P∨P

Û (┐P↑┐P)↑(P↑P)

ÛP↑(P↑P)

P→(┐P→Q)

Û┐P∨(P∨Q)

ÛT

Û┐P∨P

Û┐(┐P↓P)

Û┐((P↓P)↓P)

Û((P↓P)↓P)↓((P↓P)↓P)

(4)解：

P↑Q

Û┐(┐P↓┐Q)

Û┐((P↓P)↓(Q↓Q))

Û ((P↓P)↓(Q↓Q))↓((P↓P)↓(Q↓Q))

(5)证明：

┐(B↑C)

Û┐(┐B∨┐C)

Û ┐B↓┐C

┐(B↓C)

Û┐(┐B∧┐C)

Û┐B↑┐C

(6)解：联结词“↑”和“↓”不满足结合律。举例如下：

a)给出一组指派：P为T，Q为F，R为F，则(P↑Q)↑R为T，P↑(Q↑R)为F

故 (P↑Q)↑R P↑(Q↑R).

b)给出一组指派：P为T，Q为F，R为F，则(P↓Q) ↓R为T，P↓(Q↓R)为F

故(P↓Q)↓R P↓(Q↓R).

(7)证明：

设变元P，Q，用连结词«,┐作用于P，Q得到：P，Q，┐P，┐Q，P«Q，P«P，Q«Q，Q«P。

但P«QÛQ«P，P«PÛQ«Q，故实际有：

P，Q，┐P，┐Q，P«Q，P«P（T）（A）

用┐作用于（A）类，得到扩大的公式类（包括原公式类）：

P，Q，┐P，┐Q，┐（P«Q）， T，F， P«Q （B）

用«作用于（A）类，得到：

P«Q，P«┐PÛF，P«┐QÛ┐（P«Q），P«（P«Q）ÛQ，P«（P«P）ÛP，

Q«┐PÛ┐（P«Q），Q«┐QÛF，Q«（P«Q）ÛP，Q«TÛQ,

┐P«┐QÛP«Q，┐P«（P«Q）Û┐Q，┐P«TÛ┐P,

┐Q«（P«Q）Û┐P，┐Q«TÛ┐Q,

（P«Q）«（P«Q）ÛP«Q.

因此，（A）类使用运算后，仍在（B）类中。

对（B）类使用┐运算得：

┐P，┐Q，P，Q， P«Q， F，T，

┐（P«Q），

仍在（B）类中。

对（B）类使用«运算得：

P«Q，P«┐PÛF，P«┐QÛ┐（P«Q），P«┐（P«Q）Û┐Q，P«TÛP，P«FÛ┐P，P«（P«Q）ÛQ，

Q«┐PÛ┐（P«Q），Q«┐QÛF，Q«┐（P«Q）Û┐P，Q«TÛQ, Q«FÛ┐Q， Q«（P«Q）ÛP，

┐P«┐QÛP«Q，┐P«┐（P«Q）ÛQ，┐P«TÛ┐P, ┐P«FÛP,┐P«（P«Q）Û┐Q，

┐Q«┐（P«Q）ÛP，┐Q«TÛ┐Q, ┐Q«TÛ┐Q,┐Q«（P«Q）Û┐P，

┐（P«Q）«TÛ┐（P«Q），┐（P«Q）«FÛP«Q，┐（P«Q）«（P«Q）ÛF

T«FÛF，T«（P«Q）Û P«Q

F«（P«Q）Û ┐（P«Q）

（P«Q）«（P«Q）ÛP«Q.

故由（B）类使用«运算后，结果仍在（B）中。

∨

由上证明：用«,┐两个连结词，反复作用在两个变元的公式中，结果只能产生（B）类中的公式，总共仅八个不同的公式，故{«,┐}不是功能完备的，更不能是最小联结词组。

∨

已证{«,┐}不是最小联结词组，又因为P QÛ ┐（P«Q），故任何命题公式中的联结词，如仅用{ , ┐}表达，则必可用{«,┐}表达，其逆亦真。故{ , ┐}也必不是最小联结词组。

(8)证明{∨}，{∧}和{→}不是最小联结词组。

证明：若{∨}，{∧}和{→}是最小联结词，则

┐PÛ（P∨P∨……）

┐PÛ（P∧P∧……）

┐PÛP→(P→(P→……)

对所有命题变元指派T，则等价式左边为F，右边为T，与等价表达式矛盾。

→

所以{∨}，{∧}和{→}不是最小联结词。

(9)证明{┐,→}和{┐, }是最小联结词组。

证明：因为{┐,∨}为最小联结词组，且P∨QÛ┐P→Q

所以{┐,→}是功能完备的联结词组，又{┐},{→}都不是功能完备的联结词组。

→

所以{┐,→}是最小联结词组。

→

又因为P→QÛ┐(P Q)，所以{┐, }是功能完备的联结词组，又{┐},{ }不是功能完备的联结词组，

所以{┐, }是最小联结词组。

习题 1-7

(1)解：

P∧(P→Q)

ÛP∧(┐P∨Q)

Û (P∧┐P)∨(P∧Q)

P∧(P→Q)

Û (P∨(┐Q∧Q))∧(┐P∨Q)

Û (P∨┐Q)∧(P∨Q)∧(┐P∨Q)

(2)解：

(┐P∧Q)→R

Û┐(┐P∧Q)∨R

Û P∨┐Q∨R

Û(P∧Q)∨(P∧┐Q)∨(┐Q∧R)∨(┐Q∧┐R)∨(R∧P)∨(R∧┐P)

P→((Q∧R)→S)

Û┐P∨(┐(Q∧R)∨S)

Û┐P∨┐Q∨┐R∨S

Û(┐P∧Q)∨(┐P∧┐Q)∨(┐Q∧R)∨(┐Q∧┐R)∨(┐R∧S)∨(┐R∧┐S)∨(S∧P)∨(S∧┐P)

┐(P∨┐Q)∧(S→T)

Û(┐P∧Q)∧(┐S∨T)

Û(┐P∧Q∧┐S)∨(┐P∧Q∧T)

(P→Q)→R

Û┐(┐P∨Q)∨R

Û(P∧┐Q)∨R

Û(P∨R)∧(┐Q∨R)

┐(P∧Q)∧(P∨Q)

Û(┐P∨┐Q)∧(P∨Q)

Û(┐P∧P)∨(┐P∧Q)∨(┐Q∧P)∨(┐Q∧Q)

Û (┐P∧Q)∨(┐Q∧P)

(3) 解：

1. P∨(┐P∧Q∧R)

Û(P∨┐P)∧(P∨Q)∧(P∨R)

Û(P∨Q)∧(P∨R)

1. ┐(P→Q)∨(P∨Q)

Û┐(┐P∨Q)∨(P∨Q)

Û(P∧┐Q)∨(P∨Q)

Û(P∨P∨Q)∧(┐Q∨P∨Q)

1. ┐(P→Q)

Û┐(┐P∨Q)

Û P∧┐Q

Û(P∨Q)∧(P∨┐Q)∧(┐Q∨┐P)

1. (P→Q)→R

Û┐(┐P∨Q)∨R

Û (P∧┐Q)∨R

Û (P∨R)∧(┐Q∨R)

1. (┐P∧Q)∨(P∧┐Q)

Û(┐P∨P)∧(┐P∨┐Q)∧(Q∨P)∧(Q∨┐Q)

Û(┐P∨┐Q)∧(Q∨P)

(4) 解：

(┐P∨┐Q)→(P«┐Q)

Û┐(┐P∨┐Q) ∨(P«┐Q)

Û (P∧Q) ∨(P∧┐Q)∨(┐P∧Q)

Ûå1，2，3

ÛP∨Q=P0

Q∧(P∨┐Q)

Û (P∧Q)∨(Q∧┐Q)

Û P∧Q =å3

ÛP0，1，2

Û(P∨Q)∧(P∨┐Q) ∧(┐P∨Q)

P∨(┐P→(Q∨(┐Q→R))

ÛP∨(P∨(Q∨(Q∨R))

ÛP∨Q∨R=P0

Ûå1，2，3,4,5,6,7

=(┐P∧┐Q∧R) ∨(┐P∧Q∧┐R) ∨(┐P∧Q∧R) ∨(P∧┐Q∧┐R) ∨(P∧┐Q∧R) ∨(P∧Q∧┐R)∨(P∧Q∧R)

(P→(Q∧R) )∧(┐P→(┐Q∧┐R))

Û (┐P∨(Q∧R)) ∧(P∨(┐Q∧┐R))

Û (P∧┐P) ∨(P∧(Q∧R)) ∨ ((┐Q∧┐R) ∧┐P) ∨((┐Q∧┐R) ∧(Q∧R))

Û (P∧Q∧R) ∨(┐P∧┐Q∧┐R) =å0,7

ÛP1，2，3,4,5,6

Û (P∨Q∨┐R) ∧(P∨┐Q∨R) ∧(P∨┐Q∨┐R) ∧(┐P∨Q∨R) ∧(┐P∨Q∨┐R) ∧(┐P∨┐Q∨R)

P→(P∧(Q→P)

Û┐P∨(P∧(┐Q∨P)

Û(┐P∨P)∧(┐P∨┐Q∨P)

ÛT∨(T∧┐Q) ÛT

Ûå0,1,2,3= (┐P∧┐Q) ∨(┐P∧Q) ∨(P∧┐Q) ∨(P∧Q)

(Q→P) ∧(┐P∧Q)

Û (┐Q∨P) ∧┐P∧Q

Û (┐Q∨P) ∧┐(P∨┐Q) ÛF

ÛP0,1，2，3= (P∨Q) ∧(P∨┐Q) ∧(┐P∨Q) ∧(┐P∨┐Q)

(5) 证明：

(A→B) ∧(A→C)

Û (┐A∨B) ∧(┐A∨C)

A→(B∧C)

Û┐A∨(B∧C)

Û (┐A∨B) ∧(┐A∨C)

(A→B) →(A∧B)

Û┐(┐A∨B) ∨(A∧B)

Û (A∧┐B) ∨(A∧B)

ÛA∧(B∨┐B)

ÛA∧T

ÛA

(┐A→B) ∧(B→A)

Û (A∨B) ∧(┐B∨A)

ÛA∨(B∧┐B)

ÛA∨F

ÛA

A∧B∧(┐A∨┐B)

Û ((A∧┐A)∨(A∧┐B))∧B

ÛA∧B∧┐B

ÛF

┐A∧┐B∧(A∨B)

Û ((┐A∧A)∨(┐A∧B))∧┐B

Û┐A∧┐B∧B

ÛF

A∨(A→(A∧B)

ÛA∨┐A∨(A∧B)

ÛT

┐A∨┐B∨(A∧B)

Û┐(A∧B) ∨(A∧B)

ÛT

(6)解：AÛR↑(Q∧┐(R↓P)),则A*Û R↓(Q∨┐(R↑P))

AÛR↑(Q∧┐(R↓P))

Û┐(R∧(Q∧(R∨P)))

Û┐R∨┐Q∨┐(R∨P)

Û┐(R∧Q) ∨┐(R∨P)

A*ÛR↓(Q∨┐(R↑P))

Û┐(R∨(Q∨(R∧P))

Û┐R∧┐Q∧┐(R∧P)

Û┐(R∨Q) ∧┐(R∧P)

(7) 解：设A：A去出差。B：B去出差。C：C去出差。D：D去出差。

若A去则C和D中要去一个。 A→(CD)

B和C不能都去。 ┐(B∧C)

C去则D要留下。 C→┐D

按题意应有：A→(CD)，┐(B∧C)，C→┐D必须同时成立。

因为CD Û (C∧┐D) ∨(D∧┐C)

故(A→(CD))∧┐(B∧C) ∧(C→┐D)

Û (┐A∨(C∧┐D) ∨(D∧┐C)) ∧┐(B∧C) ∧(┐C∨┐D)

Û (┐A∨(C∧┐D) ∨(D∧┐C)) ∧(┐B∨┐C) ∧(┐C∨┐D)

Û (┐A∨(C∧┐D) ∨(D∧┐C)) ∧((┐B∧┐C) ∨(┐B∧┐D) ∨(┐C∧┐D) ∨┐C)

Û (┐A∧┐B∧┐C) ∨(┐A∧┐B∧┐D) ∨(┐A∧┐C∧┐D) ∨(┐A∧┐C)

∨(┐B∧┐C∧D) ∨(┐C∧D∧┐B∧┐D) ∨(┐C∧D∧┐C∧┐D)

∨(┐C∧D∧┐C) ∨(┐D∧C∧┐B∧┐C) ∨(┐D∧C∧┐B∧┐D)

∨(┐D∧C∧┐C∧┐D) ∨(┐D∧C∧┐C)

在上述的析取范式中，有些（画线的）不符合题意，舍弃，得

(┐A∧┐C) ∨(┐B∧┐C∧D) ∨（┐C∧D）∨(┐D∧C∧┐B)

故分派的方法为：B∧D,或 D∧A,或 C∧A。

(8)解：设P：A是第一。Q：B是第二。R：C是第二。S：D是第四。E：A是第二。

由题意得 (PQ) ∧(RS) ∧(ES)

Û ((P∧┐Q) ∨(┐P∧Q)) ∧((R∧┐S) ∨(┐R∧S)) ∧((E∧┐S) ∨(┐E∧S))

Û ((P∧┐Q∧R∧┐S) ∨(P∧┐Q∧┐R∧S) ∨(┐P∧Q∧R∧┐S) ∨(┐P∧Q∧┐R∧S))∧((E∧┐S)∨(┐E∧S))

因为 (P∧┐Q∧┐R∧S)与(┐P∧Q∧R∧┐S)不合题意，所以原式可化为

((P∧┐Q∧R∧┐S) ∨(┐P∧Q∧┐R∧S))∧((E∧┐S) ∨(┐E∧S))

Û (P∧┐Q∧R∧┐S∧E∧┐S) ∨(P∧┐Q∧R∧┐S∧┐E∧S) ∨(┐P∧Q∧┐R∧S∧E∧┐S)∨(┐P∧Q∧┐R∧S∧┐E∧S)

Û (P∧┐Q∧R∧┐S∧E) ∨(┐P∧Q∧┐R∧S∧┐E)

因R与E矛盾，故┐P∧Q∧┐R∧S∧┐E为真，

即A不是第一，B是第二，C不是第二，D为第四，A不是第二。

于是得： A是第三 B是第二 C是第一 D是第四。

习题1-8

(1)证明：

a)┐(P∧┐Q)，┐Q∨R，┐RÞ┐P

(1) ┐RP

(2) ┐Q∨R P

(3) ┐Q (1)(2)T,I

(4) ┐(P∧┐Q) P

(5) ┐P∨Q (4)T,E

(6) ┐P (3)(5)T,I

b)J→(M∨N)，(H∨G)→J，H∨GÞM∨N

(1) (H∨G) →J P

(2) (H∨G) P

(3) J (1)(2)T,I

(4) J→(M∨N) P

(5) M∨N (3)(4)T,I

c)B∧C，(B«C)→(H∨G)ÞG∨H

(1) B∧C P

(2) B(1)T,I

(3) C (1)T,I

(4) B∨┐C(2)T,I

(5) C∨┐B (3)T,I

(6) C→B(4)T,E

(7) B→C (5)T,E

(8) B«C (6)(7)T,E

(9) (B«C) →(H∨G) P

(10) H∨G(8)(9)T,I

d)P→Q，(┐Q∨R)∧┐R，┐(┐P∧S)Þ┐S

(1) (┐Q∨R) ∧┐R

(2) ┐Q∨R (1)T,I

(3) ┐R (1)T,I

(4) ┐Q (2)(3)T,I

(5) P→Q P

(6) ┐P (4)(5)T,I

(7) ┐(┐P∧┐S) P

(8) P∨┐S (7)T,E

(9) ┐S (6)(8)T,I

(2) 证明：

a)┐A∨B，C→┐BÞA→┐C

(1) ┐(A→┐C) P

(2) A (1)T,I

(3) C (1)T,I

(4) ┐A∨B P

(5) B (2)(4)T,I

(6) C→┐B P

(7) ┐B (3)(6)T,I

(8) B∧┐B 矛盾。(5),(7)

b)A→(B→C)，(C∧D)→E，┐F→(D∧┐E)ÞA→(B→F)

(1) ┐(A→(B→F)) P

(2) A (1)T,I

(3) ┐(B→F) (1)T,I

(4) B (3)T,I

(5) ┐F (3)T,

(6) A→(B→C) P

(7) B→C (2)(6)T,I

(8) C (4)(7)T,I

(9) ┐F→(D∧┐E) P

(10) D∧┐E (5)(9)T,I

(11) D (10)T,I

(12) C∧D (8)(11)T,I

(13) (C∧D) →E P

(14) E (12)(13)T,I

(15) ┐E (10)T,I

(16) E∧┐E 矛盾。(14),(15)

c)A∨B→C∧D，D∨E→FÞA→F

(1) ┐(A→F) P

(2) A (1)T,I

(3) ┐F (1)T,I

(4) A∨B (2)T,I

(5) (A∨B) →C∧D P

(6) C∧D (4)(5)T,I

(7) C (6)T,I

(8) D (6)T,I

(9) D∨E (8)T,I

(10) D∨E→F P

(11) F(9)(10)T,I

(12) F∧┐F矛盾。(3),(11)

d)A→(B∧C)，┐B∨D，(E→┐F)→┐D，B→(A∧┐E)ÞB→E

(1) ┐(B→E) P

(2) B (1)T,I

(3) ┐E (1)T,I

(4) ┐B∨D P

(5) D (2)(4)T,I

(6) (E→┐F) →┐D P

(7) ┐(E→┐F) (5)(6)T,I

(8) E (7)T,I

(9) E∧┐E 矛盾

e)(A→B)∧(C→D)，(B→E)∧(D→F)，┐(E∧F)，A→CÞ┐A

(1) (A→B) ∧(C→D) P

(2) A→B (1)T,I

(3) (B→E) ∧(D→F) P

(4) B→E (3)T,I

(5) A→E (2)(4)T,I

(6) ┐(E∧F) P

(7) ┐E∨┐F (6)T,E

(8) E→┐F (7)T,E

(9) A→┐F (5)(8)T,I

(10) C→D (1)T,I

(11) D→F (3)T,I

(12) C→F (10)(10)T,I

(13) A→C P

(14) A→F (13)(12)T,I

(15) ┐F→┐A (14)T,E

(16) A→┐A (9)(15)T,I

(17) ┐A∨┐A (16)T,E

(18) ┐A (17) T,E

证明：

a)┐A∨B，C→┐BÞA→┐C

(1) A P

(2) ┐A∨B P

(3) B (1)(2)T,I

(4) C→┐B P

(5) ┐C (3)(4)T,I

(6) A→┐C CP

b)A→(B→C)，(C∧D)→E，┐F→(D∧┐E)ÞA→(B→F)

(1) A P

(2) A→(B→C) P

(3) B→C (1)(2)T,I

(4) B P

(5) C (3)(4)T,I

(6) (C∧D) →E P

(7) C→(D→E) (6)T,E

(8) D→E (5)(7)T,I

(9) ┐D∨E (8)T,E

(10) ┐(D∧┐E) (9)T,E

(11) ┐F→(D∧┐E) P

(12) F (10)(11)T,I

(13) B→F CP

(14) A→(B→F) CP

c)A∨B→C∧D，D∨E→FÞA→F

(1) A P

(2) A∨B (1)T,I

(3) A∨B→C∨D P

(4) C∧D(2)(3)T,I

(5) D(4)T,I

(6) D∨E (5)T,I

(7) D∨E→F P

(8) F(6)(7)T,I

(9) A→F CP

d)A→(B∧C)，┐B∨D，(E→┐F)→┐D，B→(A∧┐E)ÞB→E

(1) B P(附加前提)

(2) ┐B∨D P

(3) D (1)(2)T,I

(4) (E→┐F)→┐D P

(5) ┐(E→┐F)(3)(4)T,I

(6) E (5)T,I

(7) B→E CP

(4)证明：

R→┐Q，R∨S，S→┐Q，P→QÞ┐P

(1) R→┐Q P

(2) R∨S P

(3) S→┐Q P

(4) ┐Q (1)(2)(3)T,I

(5) P→Q P

(6) ┐P (4)(5)T,I

S→┐Q，S∨R，┐R，┐P«QÞP

证法一：

(1) S∨R P

(2) ┐R P

(3) S (1)(2)T,I

(4) S→┐Q P

(5) ┐Q (3)(4)T,I

(6) ┐P«Q P

(7)(┐P→Q)∧(Q→┐P) (6)T,E

(8) ┐P→Q (7)T,I

(9) P (5)(8)T,I

证法二：（反证法）

(1) ┐P P（附加前提）

(2) ┐P«QP

(3)（┐P→Q）∧（ Q→┐P） (2)T，E

(4) ┐P→Q(3)T,I

(5) Q (1)(4)T,I

(6) S→┐Q P

(7) ┐S (5)(6)T,I

(8) S∨R P

(9) R (7)(8)T,I

(10) ┐R P

(11) ┐R∧R 矛盾（9）（10）T，I

c)┐(P→Q)→┐(R∨S)，((Q→P)∨┐R)，RÞP«Q

(1) R P

(2) (Q→P) ∨┐R P

(3) Q→P (1)(2)T,I

(4)┐(P→Q) →┐(R∨S) P

(5) (R∨S) →(P→Q)(4)T,E

(6) R∨S (1)T,I

(7) P→Q(5)(6)

(8) (P→Q) ∧(Q→P)(3)(7)T,I

(9) P«Q (8)T,E

(5) 解：

设P：我跑步。Q：我很疲劳。

前提为：P→Q，┐Q

(1) P→Q P

(2) ┐Q P

(3) ┐P (1)(2)T,I

结论为：┐P，我没有跑步。

设S：他犯了错误。 R：他神色慌张。

前提为：S→R，R

因为（S→R）∧RÛ（┐S∨R）∧RÛR。故本题没有确定的结论。

实际上，若S →R为真，R为真,则S可为真，S也可为假，故无有效结论。

设P：我的程序通过。 Q：我很快乐。

R：阳光很好。 S：天很暖和。（把晚上十一点理解为阳光不好）

前提为：P→Q，Q→R，┐R∧S

(1) P→Q P

(2) Q→R P

(3) P→R (1)(2)T,I

(4) ┐R∨S P

(5) ┐R (4)T,I

(6) ┐P (3)(5)T,I

结论为： ┐P，我的程序没有通过

习题2-1,2-2

解：
1. 设W（x）：x是工人。c：小张。

则有 ¬W（c）

1. 设S（x）：x是田径运动员。B（x）：x是球类运动员。h：他

则有 S（h）ÚB（h）

c) 设C（x）：x是聪明的。B（x）：x是美丽的。l：小莉。

则有 C（l）Ù B（l）

d）设O（x）：x是奇数。

则有 O（m）®¬ O（2m）。

e)设R（x）：x是实数。Q（x）：x是有理数。

则有（"x）（Q（x）®R（x））

f) 设R（x）：x是实数。Q（x）：x是有理数。

则有（$x）（R（x）ÙQ（x））

g) 设R（x）：x是实数。Q（x）：x是有理数。

则有 ¬（"x）（R（x）®Q（x））

h)设P（x，y）：直线x平行于直线y

G（x，y）：直线x相交于直线y。

则有 P（A，B）D¬G（A，B）

解：
1. 设J(x)：x是教练员。L(x)：x是运动员。

则有（"x）（J（x）®L（x））

1. 设S(x)：x是大学生。L(x)：x是运动员。

则有（$x）（L（x）ÙS（x））

1. 设J(x)：x是教练员。O(x)：x是年老的。V（x）：x是健壮的。

则有（$x）（J（x）ÙO（x）ÙV（x））

1. 设O(x)：x是年老的。V（x）：x是健壮的。j：金教练

则有 ¬ O（j）Ù¬V（j）

1. 设L(x)：x是运动员。J(x)：x是教练员。

则 ¬（"x）（L（x）®J（x））

本题亦可理解为：某些运动员不是教练。

故（$x）（L（x）Ù¬J（x））

1. 设S（x）：x是大学生。L（x）：x是运动员。C（x）：x是国家选手。

则有（$x）（S（x）ÙL（x）ÙC（x））

1. 设C（x）：x是国家选手。V（x）：x是健壮的。

则有（"x）（C（x）®V（x））或¬（$x）（C（x）Ù¬V（x））

1. 设C（x）：x是国家选手。O（x）：x是老的。L（x）：x 是运动员。

则有（"x）（O（x）ÙC（x）®L（x））

i) 设W（x）：x是女同志。H（x）：x是家庭妇女。C（x）：x是国家选手。

则有 ¬（$x）（W（x）ÙC（x）ÙH（x））

W（x）：x是女同志。J（x）：x是教练。C（x）：x是国家选手。

则有（$x）（W（x）ÙJ（x）ÙC（x））

L（x）：x 是运动员。J（y）：y是教练。A(x,y)：x钦佩y。

则有（"x）（L（x）® （$y）（J（y）ÙA（x，y）））

设S（x）：x是大学生。L（x）：x 是运动员。A(x,y)：x钦佩y。

则（$x）（S（x）Ù（"y）（L（y）®¬ A(x,y)））

习题2-3

（1）解：

a）5是质数。

b）2是偶数且2是质数。

c）对所有的x，若x能被2除尽，则x是偶数。

d）存在x，x是偶数，且x能除尽6。（即某些偶数能除尽6）

e）对所有的x，若x不是偶数，则x不能被2除尽。

f）对所有的x，若x是偶数，则对所有的y，若x能除尽y，则y也是偶数。

g）对所有的x，若x是质数，则存在y，y是偶数且x能除尽y（即所有质数能除尽某些偶数）。

h）对所有的x，若x是奇数，则对所有y，y是质数，则x不能除尽y（即任何奇数不能除尽任何质数）。

（2）解：（"x）("y)((P(x)∧P(y)∧┐E(x,y)→($!z)(L(z)∧R(x,y,z)))

或（"x）("y)((P(x)∧P(y)∧┐E(x,y)→($z)(L(z)∧R(x,y,z) ∧┐($u)(┐E(z,u) ∧L(u)∧R(x,y,u))))

（3）解：

a) 设N(x):x是有限个数的乘积。 z(y):y为0。

P(x):x的乘积为零。 F(y):y是乘积中的一个因子。

则有 ("x)((N(x)∧P(x)→($y)(F(y)∧z(y)))

b) 设R(x):x是实数。Q(x,y):y大于x。故 ("x)(R(x)→($y)(Q(x,y)∧R(y)))

c) R(x):x是实数。G(x,y):x大于y。则

($x)($y)($z)(R(x)∧R(y)∧R(z)∧G(x+y,x·z)

（4）解：设G(x,y):x大于y。则有 ("x)("y)("z)(G(y,x) ∧G(0,z)→G(x·z,y·z))

（5）解：设N(x):x是一个数。 S(x,y):y是x的后继数。E(x,y)：x=y.则

("x)(N(x)→($!y)(N(y)∧S(x,y)))

或("x)(N(x)→($y)(N(y)∧S(x,y) ∧┐($z)(┐E(y,z) ∧N(z)∧S(x,z))))

b)┐($x)(N(x)∧S(x,1))

c) ("x)(N(x)∧┐S(x,2)→($!y)(N(y) ∧S(y,x)))

或("x)(N(x)∧┐S(x,2)→($y)(N(y) ∧S(y,x) ∧┐($z)(┐E(y,z) ∧N(z)∧S(z,x))))

（6）解：设S(x):x是大学生。 E(x):x是戴眼睛的。

F(x):x是用功的。 R(x,y):x在看y。

G(y):y是大的。 K(y):y是厚的。 J(y):y是巨著。 a:这本。 b:那位。

则有 E(b)∧F(b)∧S(b)∧R(b,a)∧G(a)∧K(a)∧J(a)

（7）解：设P(x,y):x在y连续。 Q(x,y):x>y。则

P(f,a)D(("ε)($δ)("x)(Q(ε,0)→(Q(δ,0)∧Q(δ,|x-a|)→Q(ε,|f(x)-f(a)|))))

习题2-4

(1) 解：a) x是约束变元，y是自由变元。

b) x是约束变元，P(x)∧Q(x)中的x受全称量词"的约束，S(x)中的x受存在量词$的约束。

c) x，y都是约束变元,P(x)中的x受$的约束，R(x)中的x受"的约束。

d) x，y是约束变元，z是自由变元。

(2) 解：a) P(a)∧P(b)∧P(c)

b) R(a)∧R(b)∧R(c)∧S(a)∧S(b)∧S(c)

c) (P(a)→Q(a))∧(P(b)→Q(b))∧(P(c)→Q(c)

d) (┐P(a)∧┐P(b)∧┐P(c))∨(P(z)∧P(b)∧P(c))

e) (R(a)∧R(b)∧R(c))∧(S(a)∨S(b)∨S(c))

解：

a) ("x)(P(x)∨Q(x))Û(P(1)∨Q(1))∧(P(2)∨Q(2))，

但P(1)为T，Q(1)为F，P(2)为F，Q(2)为T,所以

("x)(P(x)∨Q(x))Û(T∨F)∧(F∨T) ÛT。

b) ("x)(P→Q(x))∨R(a)Û ((P→Q(-2))∧(P→Q(3))∧(P→Q(6)))∨R(a)

因为P 为T，Q(-2)为T，Q(3)为T，Q(6)为F，R(5)为F，所以

("x)(P→Q(x))∨R(a)Û ((T→T)∧(T→T)∧(T→F))∨FÛ F

(4) 解：a) ("u)($v)(P(u，z)→Q(v))DS(x，y)

b) ("u)(P(u)→ (R(u)∨Q(u))∧($v)R(v))→($z)S(x,z)

(5) 解：a) (($y)A(u，y)→("x)B(x，v))∧($x)("z)C(x，t，z)

b) (("y)P(u，y)∧($z)Q(u，z))∨("x)R(x，t)

习题2-5

（1）解： a) P(a,f(a))∧P(b,f(b))ÛP(1,f(1))∧P(2,f(2))ÛP(1,2)∧P(2,1) ÛT∧FÛF

b)("x)($y)P(y,x)Û("x) (P(1,x)∨P(2,x))Û (P(1,1)∨P(2,1))∧(P(1,2)∨P(2,2))

Û (T∨F)∧(T∨F) Û T

c)("x)( "y)(P(x,y)→P(f(x),f(y)))

Û ("x) ((P(x,1)→P(f(x),f(1)))∧(P(x,2) →P(f(x)f(2))))

Û (P(1,1)→P(f(1),f(1)))∧(P(1,2)→P(f(1),f(2)))

∧(P(2,1)→P(f(2),f(1)))∧(P(2,2) →P(f(2),f(2)))

Û (P(1,1)→P(2,2))∧(P(1,2)→P(2,1))∧(P(2,1)→P(1,2))∧(P(2,2)→P(1,1))

Û (T→F∧(T→F)∧(F→T)∧(F→T)ÛF∧F∧T∧TÛF

（2）解：a) ("x)(P(x)→Q(f(x),a))

Û(P(1)→Q(f(1),1))∧(P(2)→Q(f(2),1))

Û (F→Q(2,1))∧(T→Q(1,1))

Û (F→F)∧(T→T) ÛT

b) ($x)(P(f(x))∧Q(x,f(a))

Û (P(f(1))∧Q(1,f(1)))∨(P(f(2))∧Q(2,f(1))Û (T∧T)∨(F∧F) ÛT

c) ($x)(P(x)∧Q(x,a))

Û (P(1)∧Q(1,a))∨(P(2)∧Q(2,a))

Û (P(1)∧Q(1,1))∨(P(2)∧Q(2,1))

Û (F∧T)∨(T∧F) ÛF

d) ("x)( $y)(P(x)∧Q(x,y))

Û ("x) (P(x)∧($y)Q(x,y))

Û ("x) (P(x)∧(Q(x,1)∨Q(x,2)))

Û (P(1)∧(Q(1,1)∨Q(1,2)))∧(P(2)∧(Q(2,1)∨Q(2,2)))

Û (F∧(T∨T))∧(T∧(F∨F)) ÛF

(3) 举例说明下列各蕴含式。

ù(($x)(P(x)∧Q(a))Þ ($x)P(x)®ùQ(a)
("x) (ù P(x) ®Q(x)), ("x) ùQ(x)ÞP(a)
("x) (P(x) ®Q(x)), ("x) (Q(x) ®R(x))Þ ("x) (P(x) ®R(x))
("x) (P(x) ÚQ(x)), ("x) ùP(x)Þ ($x)Q (x)
("x) (P(x) ÚQ(x)), ("x) ùP(x)Þ ("x)Q (x)

解：a）因为ù(($x)(P(x)∧Q(a)) Ûù($x)P(x)∨ùQ(a)

故原式为ù($x)P(x)∨ùQ(a) Þ ($x)P(x)®ùQ(a)

设P（x）：x是大学生。Q（x）：x是运动员

前提或者不存在x，x是大学生，或者a是运动员

结论如果存在x是大学生，则必有a是运动员。

b)设P（x）：x是研究生。Q（x）：x是大学生。a：论域中的某人。

前提：对论域中所有x，如果x不是研究生则x是大学生。

对论域中所有x， x不是大学生。

结论：对论域中所有x都是研究生。

故，对论域中某个a，必有结论a是研究生，即P（a）成立。

c）设P（x）：x是研究生。Q（x）：x曾读过大学。R（x）：x曾读过中学。

前提对所有x，如果x是研究生，则x曾读过大学。

对所有x，如果x曾读过大学，则x曾读过中学。

结论：对所有x，如果x是研究生，则x曾读过中学。

d）设P（x）：x是研究生。Q（x）：x是运动员。

前提对所有x，或者x是研究生，或者x是运动员。

对所有x，x不是研究生

结论必存在x，x是运动员。

e）设P（x）：x是研究生。Q（x）：x是运动员。

前提对所有x，或者x是研究生，或者x是运动员。

对所有x，x不是研究生

结论对所有x，x是运动员。

（4）证明：($x)(A(x)→B(x))Û ($x) (┐A(x)∨B(x)) Û ($x)┐A(x)∨ ($x) B(x)

Û ┐("x)A(x)∨($x) B(x) Û ("x)A(x)→($x) B(x)

（5）设论域D={a，b，c}，求证("x)A(x)∨("x)B(x)Þ( "x)(A(x)∨B(x))

证明：因为论域D={a，b，c}，所以

("x)A(x)∨("x)B(x) Û(A(a) ∧A(b) ∧A(c)) ∨(B(a) ∧B(b) ∧B(c))

Û(A(a) ∨B(a)) ∧(A(a) ∨B(b)) ∧(A(a) ∨B(c)) ∧(A(b) ∨B(a)) ∧(A(b) ∨B(b)) ∧(A(b)∨B(c)) ∧(A(c) ∨B(a)) ∧(A(c) ∨B(b)) ∧(A(c) ∨B(c))

Þ(A(a) ∨B(a)) ∧(A(b) ∨B(b))∧(A(c) ∨B(c))

Û( "x)(A(x)∨B(x))

所以("x)A(x)∨("x)B(x)Þ( "x)(A(x)∨B(x))

（6）解：推证不正确，因为

┐($x)(A(x)∧┐B(x))Û┐(($x)A(x)∧($x)┐B(x))

（7）求证("x)( "y)(P(x)→Q(y)) Û ( $x)P(x)→("y)Q(y)

证明：("x)( "y)(P(x)→Q(y))

Û("x)( "y)( ┐P(x) ∨Q(y))

Û("x) ┐P(x) ∨( "y)Q(y)

Û┐($x)P(x) ∨( "y)Q(y)

Û ( $x)P(x)→("y)Q(y)

习题2-6

（1）解：a)("x)(P(x)→($y)Q(x,y))

Û("x)( ┐P(x) ∨($y)Q(x,y))

Û("x) ($y) (┐P(x) ∨Q(x,y))

($x)(┐(($y)P(x,y))→(($z)Q(z)→R(x)))

Û($x)(($y)P(x,y)∨(($z)Q(z)→R(x)))

Û($x)(($y)P(x,y) ∨(┐($z)Q(z) ∨R(x)))

Û($x)(($y)P(x,y) ∨(("z)┐Q(z) ∨R(x)))

Û($x) ($y) ("z) ( P(x,y) ∨┐Q(z) ∨R(x))

c)("x)( "y)((($zP(x,y,z)∧($u)Q(x,u))→($v)Q(y,v))

Û("x)( "y)( ┐(($z)P(x,y,z)∧($u)Q(x,u))∨($v)Q(y,v))

Û("x)( "y)( ("z)┐P(x,y,z) ∨("u)┐Q(x,u)∨($v)Q(y,v))

Û("x)( "y) ("z) ("u) ($v) (┐P(x,y,z) ∨┐Q(x,u)∨Q(y,v))

（2）解：a)(($x)P(x)∨($x)Q(x))→($x)(P(x)∨Q(x))

Û┐(($x)P(x)∨($x)Q(x)) ∨($x)(P(x)∨Q(x))

Û┐($x) (P(x)∨Q(x)) ∨($x)(P(x)∨Q(x)) ÛT

("x)(P(x)→("y)(("z)Q(x,y)→┐("z)R(y,x)))

Û("x)( ┐P(x) ∨("y)( Q(x,y)→┐R(y,x)))

Û("x) ("y) ( ┐P(x) ∨┐Q(x,y) ∨┐R(y,x))

前束合取范式

Û("x) ("y)( (P(x) ∧Q(x,y) ∧R(y,x))

∨(P(x) ∧Q(x,y) ∧┐R(y,x))

∨ (P(x) ∧┐Q(x,y) ∧R(y,x))

∨(┐P(x) ∧Q(x,y) ∧R(y,x))

∨(┐P(x) ∧┐Q(x,y) ∧R(y,x))

∨( (P(x) ∧┐Q(x,y) ∧┐R(y,x))

∨(┐P(x) ∧Q(x,y) ∧┐R(y,x)))

前束析取范式

("x)P(x)→($x)(("z)Q(x,z)∨("z)R(x,y,z))

Û┐("x)P(x) ∨($x)(("z)Q(x,z)∨("z)R(x,y,z))

Û($x)┐P(x) ∨($x)(("z)Q(x,z)∨("u)R(x,y,u))

Û($x)(┐P(x) ∨("z)Q(x,z)∨("u)R(x,y,u))

Û($x) ("z) ("u)(┐P(x) ∨Q(x,z)∨R(x,y,u))

前束合取范式

Û($x) ("z) ("u)(( P(x) ∧Q(x,z) ∧R(x,y,u))

∨(P(x) ∧Q(x,z) ∧┐R(x,y,u))

∨(P(x) ∧┐Q(x,z) ∧R(x,y,u))

∨(P(x) ∧┐Q(x,z) ∧┐R(x,y,u))

∨(┐P(x) ∧Q(x,z) ∧┐R(x,y,u))

∨(┐P(x) ∧┐Q(x,z) ∧R(x,y,u))

∨(┐P(x) ∧┐Q(x,z) ∧┐R(x,y,u)))

前束析取范式

d)("x)(P(x)→Q(x,y))→(($y)P(y)∧($z)Q(y,z))

Û┐("x)( ┐P(x) ∨Q(x,y)) ∨(($y)P(y)∧($z)Q(y,z))

Û($x)( P(x) ∧┐Q(x,y)) ∨(($u)P(u)∧($z)Q(y,z))

Û($x) ($u) ($z) (( P(x) ∧┐Q(x,y)) ∨(P(u)∧Q(y,z)))

前束析取范式

Û($x) ($u) ($z) (( P(x)∨P(u)) ∧ (P(x)∨Q(y,z)) ∧(┐Q(x,y)∨P(u)) ∧ (┐Q(x,y)∨Q(y,z)))

前束合取范式

习题2-7

证明：
a)①("x)(┐A(x)→B(x)) P

②┐A(u)→B(u) US①

③( "x)┐B(x) P

④┐B(u) US③

⑤A(u)∨B(u) T②E

⑥A(u) T④⑤I

⑦ ( $x)A(x) EG⑥

b)①┐( "x)(A(x)→B(x)) P（附加前提）

②( $x)┐(A(x)→B(x)) T①E

③┐(A(c)→B(c)) ES②

④A(c) T③I

⑤┐B(c) T③I

⑥( $x)A(x) EG④

⑦ ($x)A(x)→("x)B(x) P

⑧("x)B(x) T⑥⑦I

⑨B(c) US⑧

⑩B(c)∧ ┐B(c) T⑤⑨矛盾

c）①("x)(A(x)→B(x)) P

②A(u)→B(u) US①

③( "x)(C(x)→┐B(x)) P

④C(u)→┐B(u) US③

⑤┐B(u) →┐A(u) T②E

⑥C(u)→┐A(u) T④⑤I

⑦("x)(C(x)→┐A(x)) UG⑥

d)("x)(A(x)∨B(x)),( "x)(B(x)→┐C(x)),( "x)C(x)Þ ("x)A(x)

①( "x)(B(x)→┐C(x)) P

②B(u)→┐C(u) US①

③( "x)C(x) P

④C(u) US③

⑤┐B(u) T②④I

⑥("x)(A(x)∨B(x)) P

⑦A(u)∨B(u) US

⑧A(u) T⑤⑦I

⑨("x)A(x) UG⑧

(2)证明：

a)①( "x)P(x) P（附加前提）

②P(u) US①

③("x)(P(x)→Q(x)) P

④P(u)→Q(u) US③

⑤Q(u) T②④I

⑥("x)Q(x) UG⑤

⑦( "x)P(x)→("x)Q(x) CP

b)因为("x)P(x)∨($x)Q(x)Û┐("x)P(x) →($x)Q(x)

故本题就是推证("x)(P(x)∨Q(x)) Þ ┐("x)P(x) →($x)Q(x)

①┐("x)P(x) P（附加前提）

②( $x)┐P(x) T①E

③┐P(c) ES②

④("x)(P(x)∨Q(x)) P

⑤P(c)∨Q(c) ES④

⑥Q(c) T③⑤I

⑦( $x) Q(x) EG⑥

⑧┐("x)P(x) →($x)Q(x) CP

(3)

解：a)设R（x）：x是实数。Q（x）：x是有理数。I（x）：x是整数。

本题符号化为：

("x)(Q(x) →R(x)) ∧($x)(Q(x) ∧I(x)) Þ ($x)(R(x) ∧I(x))

①($x)(Q(x) ∧I(x)) P

②Q(c) ∧I(c) ES①

③("x)(Q(x) →R(x)) P

④Q(c) →R(c) US③

⑤Q(c) T②I

⑥R(c) T④⑤I

⑦I(c) T②I

⑧R(c)∧I(c) T⑥⑦I

⑨($x)(R(x) ∧I(x)) EG⑧

b)设P（x）：x喜欢步行。Q（x）：x喜欢乘汽车。R（x）：x喜欢骑自行车

本题符号化为：

("x)(P(x) →┐Q(x)), ("x)(Q(x) ∨R(x)) , ($x) ┐R(x) Þ ($x) ┐P(x)

①($x) ┐R(x) P

②┐R (c) ES①

③("x)(Q(x) ∨R(x)) P

④Q(c) ∨R(c) US③

⑤Q(c) T②④I

⑥("x)(P(x) →┐Q(x)) P

⑦P(c) →┐Q(c) US⑥

⑧┐P (c) T⑤⑦I

⑨($x) ┐P(x) EG⑧

c)每个大学生不是文科学生就是理工科学生，有的大学生是优等生，小张不是理工科学生，但他是优等生，因而如果小张是大学生，他就是文科学生。

设G（x）：x是大学生。L（x）：x是文科学生。P（x）：x是理工科学生。

S（x）：x是优秀生。c：小张。

本题符号化为：

("x)(G(x) →L(x)∨P(x)), ($x)(G(x) ∧ S(x)), ┐P (c) , S(c) Þ G(c) →L(c)

①G(c) P（附加前提）

②("x)(G(x) →L(x)∨P(x)) P

③G(c) →L(c)∨P(c) US②

④L(c)∨P(c) T①③I

⑤┐P (c) P

⑥L(c) T④⑤I

⑦G(c) →L(c) CP

注意：本题推证过程中未用到前提($x)(G(x) ∧ S(x))以及S(c)。主要是S（x）：x是优秀生，这个条件与其他前提的联系对证明结论没有影响，因S（x）与其他前提不矛盾，故本题的推证仍是有效的。

证明设A上定义的二元关系R为：

＜＜x,y＞, ＜u,v＞＞∈RÛ=

对任意＜x,y＞∈A，因为=，所以

＜＜x,y＞, ＜x,y＞＞∈R

即R是自反的。

设＜x,y＞∈A，＜u,v＞∈A，若

＜＜x,y＞, ＜u,v＞＞∈RÞ=Þ=Þ＜＜u,v＞,＜x,y＞＞∈R

即R是对称的。

设任意＜x,y＞∈A，＜u,v＞∈A，＜w,s＞∈A，对

＜＜x,y＞, ＜u,v＞＞∈R∧＜＜u,v＞, ＜w,s＞＞∈R

Þ（=）∧（=）Þ=

Þ＜＜x,y＞, ＜w,s＞＞∈R

故R是传递的，于是R是A上的等价关系。

3-10.6 设R是集合A 上的对称和传递关系，证明如果对于A中的每一个元素a,在A中同时也存在b，使<a,b>在R之中，则R是一个等价关系。

证明对任意a∈A，必存在一个b∈A，使得＜a,b＞∈R.

因为R是传递的和对称的，故有：

＜a,b＞∈R∧＜b, c＞∈RÞ＜a, c＞∈RÞ＜c,a＞∈R

由＜a,c＞∈R∧＜c, a＞∈RÞ＜a,a＞∈R

所以R在A上是自反的，即R是A上的等价关系。

3-10.7 设R1和R2是非空集合A上的等价关系，试确定下述各式，哪些是A上的等价关系，对不是的式子，提供反例证明。

a）（A×A）-R1；

b）R1-R2；

c）R12；

d) r（R1-R2）（即R1-R2的自反闭包）。

解 a）（A×A）-R1不是A上等价关系。例如：

A={a,b}，R1={＜a,a＞，＜b,b＞}

A×A={＜a,a＞，＜a,b＞，＜b,a＞，＜b,b＞}

（A×A）-R1={＜a,b＞，＜b,a＞}

所以（A×A）-R1不是A上等价关系。

b）设 A={a,b,c}

R1={＜a,b＞，＜b,a＞，＜b,c＞，＜c,b＞，＜a,c＞，＜c,a＞，＜a,a＞，＜b,b＞，＜c,c＞}

R2={＜a,a＞，＜b,b＞，＜c,c＞，＜b,c＞，＜c,b＞}

R1-R2={＜a,b＞，＜b,a＞，＜a,c＞，＜c,a＞}

所以R1和R2是A上等价关系，但R1-R2不是A上等价关系。

c）若R1是A上等价关系，则

＜a,a＞∈R1Þ＜a,a＞∈R1○R1

所以R12是A上自反的。

若＜a,b＞∈R12则存在c，使得＜a, c＞∈R1∧＜c,b＞∈R1。因R1对称，故有

＜b, c＞∈R1∧＜c,a＞∈R1Þ＜b, a＞∈R12

即R12是对称的。

若＜a,b＞∈R12∧＜b, c＞∈R12,则有

＜a,b＞∈R1○R1∧＜b, c＞∈R1○R1

Þ（$e1）（＜a, e1＞∈R1∧＜e1, b＞∈R1) ∧（$e2）（＜b, e2＞∈R1∧＜e2, c＞∈R1）

Þ＜a,b＞∈R1∧＜b, c＞∈R1（∵R1传递）

Þ＜a,c＞∈R12

即R12是传递的。

故R12是A上的等价关系。

d）如b）所设，R1和R2是A上的等价关系，但

r（R1-R2）=（R1-R2）∪IA

={＜a,b＞, ＜b,a＞, ＜a,c＞，＜c,a＞，＜a,a＞，＜b,b＞, ＜c,c＞}

不是A上的等价关系。

3-10.8 设C*是实数部分非零的全体复数组成的集合，C*上的关系R定义为：(a+bi)R(c+di)Ûac>0,证明R是等价关系，并给出关系R的等价类的几何说明。

证明：(1)对任意非零实数a，有a2>0Û(a+bi)R(a+bi)

故R在C*上是自反的。

(2) 对任意(a+bi)R(c+di)Ûac>0,

因ca=ac>0Û(c+di)R(a+bi),

所以R在C*上是对称的。

(3)设(a+bi)R(c+di) ，(c+di)R(u+vi)，则有ac>0Ùcu>0

若c>0，则a>0Ùu>0Þ au>0

若c<0，则a<0Ùu<0Þ au>0

所以(a+bi)R(u+vi)，即R在C*上是传递的。

关系R的等价类，就是复数平面上第一、四象限上的点，或第二、三象限上的点，因为在这两种情况下，任意两个点(a,b)，(c,d)，其横坐标乘积ac>0。

3-10.9 设Π和Π¢是非空集合A上的划分，并设R和R¢分别为由Π和Π¢诱导的等价关系，那么Π¢细分Π的充要条件是R¢ Í R。

证明：若Π¢细分Π。由假设aR¢b，则在Π¢中有某个块S¢，使得a,b∈S¢，因Π¢细分Π，故在Π中，必有某个块S，使S¢Í S，即a,b∈S，于是有aRb,即R¢ Í R。

反之，若R¢ Í R，令S¢为H¢的一个分块，且a∈S¢，则S¢=[a]R¢={x|xR¢a}

但对每一个x，若xR¢a，因R¢ Í R，故xRa，因此{x|xR¢a} Í{x|xRa}即[a]R¢ Í[a]R

设S=[a]R,则S¢Í S

这就证明了Π¢细分Π。

3-10.10 设Rj是表示I上的模j等价关系，Rk是表示I上的模k等价关系，证明I/Rk细分I/Rj当且仅当k是j的整数倍。

证明：由题设Rj={<x,y>|x≡y(modj)}

Rk={<x,y>|x≡y(modk)}

故<x,y>∈RjÛx-y=c×j (对某个c∈I)

<x,y>∈RkÛx-y=d×k (对某个d∈I)

a)假设I/Rk细分I/Rj，则Rk Í Rj

因此<k,0>∈RkÞ<k,0>∈Rj

故k-0=1×k=c×j (对某个c∈I)

于是k是j的整数倍。

b)若对于某个r∈I，有k=rj则：

<x,y>∈RkÛx-y=ck (对某个c∈I)

Þ x-y=crj (对某个c,r∈I)

Þ<x,y>∈Rj

因此，Rk Í Rj，于是I/Rk细分I/Rj

P	Q	R	F1	F2	F3	F4	F5	F6
T	T	T	T	F	T	T	F	F
T	T	F	F	F	T	F	F	F
T	F	T	T	F	F	T	T	F
T	F	F	F	T	F	T	T	F
F	T	T	T	F	F	T	T	F
F	T	F	T	F	F	F	T	F
F	F	T	T	F	T	T	T	F
F	F	F	F	T	F	T	T	T

P	Q	R	F1	F2	F3	F4	F5	F6
T	T	T	T	F	T	T	F	F
T	T	F	F	F	T	F	F	F
T	F	T	T	F	F	T	T	F
T	F	F	F	T	F	T	T	F
F	T	T	T	F	F	T	T	F
F	T	F	T	F	F	F	T	F
F	F	T	T	F	T	T	T	F
F	F	F	F	T	F	T	T	T

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