《离散数学》遗忘要点

第1章命题逻辑

1.1命题符号化及联结词

1.能判断真假的陈述句（"！"、"？"祈使句等都不是）为命题。

判断条件一：是不是陈述句；条件二：真值是否唯一。

a）“x+y>5”不是命题。既可以为真，也可以为假，没有真值

b）“存在地球外的星球上也有生命”是命题。他的真值是唯一的，知识人们还不知道而已，但其真值终将知道

2.不能分解成更简单的句子的命题为简单命题或原子命题，用小写的英文字母p,q,r...表示。

a）简单命题的真值的确定的，因而又称为命题常项或命题常元。

b）x+y>5不是命题，但当给定x与y的值后，它的真值也就确定下来了，这种真值可以变化的简单陈述句称为命题变项或命题变元。命题变项不是命题。

3.简单命题由联结词(也称真值联结词，逻辑联结词)联结而成的命题，称为复合命题。

a）5种常用联结词的符号表示¬、Λ、V、→、↔

b）Λ在自然语言中表达为：“既...又...”，“不仅...而且...”，“虽然...但是...”，“不是...而是...”。V在自然语言中的表达为“或”。

c）设p：“派小王去开会"，q： “派小李去开会”，那么“派小王或小李去开会”为(pΛ¬q)V(¬pΛq)，或(pVq)Λ¬(pΛq)

d）→在自然语言中的表达为：“只要...就...”/“除非...否则...”（充分条件），“p仅当q”，“只有...才”/“如果...就...”（必要条件）

e）↔ 在自然语言中的表达为：“当且仅当”

4.命题符号化

a）“小王现在在宿舍或在图书馆里”，在宿舍和在图书馆里不可能同时发生，故pVq

b）“选小王或小李中的一人当班长”，选小王和选小李可能同时发生，故(pΛ¬q)V(¬pΛq)

5.优先级顺序：¬、Λ、V、→、↔

1.2命题公式及分类

1.命题公式是由命题常项、命题变项、联结词、括号等组成的符号串。简称公式

a）1可以看成某个恒取1的公式(pV¬p)的缩写，0可以看成某个恒取0(pΛ¬p)的公式的缩写

b）A称为0层公式，若A=右式(¬、Λ、V、→、↔ )，A比右式B、C中的最大层高一层

2.永真式（重言式）、永假式（矛盾式）、可满足式

3.n个命题变项，共有2ⁿ个可能的赋值，可以形成2^{2^n}个不同的真值函数

1.3等值演算

1.判断A与B是否等值等价于判断A、B的真值表是否相同

2.重要的等值式：

3.通过等值演算判断公式类型

1.4范式

1.仅由有限个命题变项或其否定构成的析取式称为简单析取式；

仅由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式；

2.通过等值演算求析取范式的步骤：

3.在简单合取式中每个命题变项与其否定有且仅有一个出现一次，这样的简单合取式称为极小项。

p<=>(pΛ¬q)V(pΛq)

1.5联结词全功能集

1.p↑q<=>¬(pΛq)，p与q的否定，↑称作与非联结词

p↓q<=>¬(pVq)，p或q的否定，↓称作或非联结词

1.6组合电路

1.7推理理论

1.等值演算法，真值表法，构造证明法