数据结构——第四讲、树（中）（2）

4.2 平衡二叉树

二叉搜索树插入节点的顺序不同，得到的二叉树的搜索效率也会发生变化，自然而然的我们就会产生一个疑问，什么样的树比较好？答案就是平衡二叉树，完全二叉树或满二叉树都是平衡二叉树。

平衡二叉树是树上所有的节点的平衡因子都为1，这个平衡因子就是这个节点左右子树的高度差。

平衡二叉树的高度和节点数的关系是 log n 。

一个已经平衡的二叉树，如果插入节点就会使它不平衡，为此需要做一些调整，分为四种不同情况：RR、RL、LL、LR。

RR：插在某节点右儿子的右边；
LL：插在某节点左儿子的左边；
RL：插在某节点右儿子的左边；
LR：插在某节点左儿子的右边；

卧槽，平衡二叉树点击量格外高，本来打算以后再写的，所有的代码在中国大学mooc网浙江大学的数据结构课里面都有，有的在视频里有的在课后的文本里面，有需要的可以直接去看原版。

//先定义AVL树的节点
typedef struct AVLNode *AVLTree;
struct AVLNode{
    ElementType Data;
    AVLTree Left;
    AVLTree Right;
    int Height;
}

//需要一个返回最大值的函数用来更新树高
Max(int a, int b){return a>b?a:b;}

//用四个函数做调整，传入一个不平衡的节点，返回一个平衡的节点；

/*插在左儿子的左边，就把它的左儿子提上来，把左儿子的右边接到它的左边（因为左儿子的右边比左儿子大比它小）*/
AVLTree LLRotation(AVLTree A){
    AVLTree B = A->Left;
    A->Left = B->Right;
    B->Right = A;
    /*只有某个节点的左右子树发生变化了，它自己的高度才会发生变化，否则它自己的高度不变，而且这里必须先更新A的高度，因为更新B的高度的时候要用到A的高度。*/
    A->Height = Max(A->Left->Height,A->Right->Height)+1;
    B->Height = Max(B->Left->Height,A->Height)+1;   //B的Right就是A；
    return B;
}

//插在右儿子的右边，与LL类似，把右儿子提上来，右儿子的左边接在它的右边
AVLTree RRRotation(AVLTree A){
    AVLTree B = A->Right;
    A->Right = B->Left;
    B->Left = A;
    A->Height = Max(A->Left->Height,A->Right->Height)+1;
    B->Height = Max(B->Left->Height,A->Height)+1;
    return B;
}

/*插在右儿子的左边，需要先将右儿子LL旋，然后再将它自己RR旋转回来，这就一定要符合右儿子左边这种插入情况才能调用此函数，否则会出错。画图可以更清楚的看到实际上做了哪些调整，至于为什么通过左右旋能达到同样的目的不会出错，我也不知道。*/
AVLTree RLRotation(AVLTree A){
    A->Right = LLRotation(A->Right);
    return RRRotation(A);
}

//同理可得LR
AVLTree LRRotation(AVLTree A){
    A->Left = RRRotation(A->Left);
    return LLRotation(A);
}

//插入函数本体，输入要插入的数据和平衡树，返回已经插入好的平衡树。
AVLTree Insert(ElementType x, AVLTree T){
    if(!T){
        T = (AVLTree)malloc(sizeof(struct AVLNode));
        T->Data = x;
        T->Left = T->Right = NULL;
        T->Height = 0;
    }
    else{
        if(x > T->Data){
            T->Right = Insert(x,T->Right);
            if(T->Right->Height - T->Left->Height == 2){
                if(x > T->Right->Data)
                    T = RRRotation(T);
                else
                    T = RLRotation(T);
            }
        }
        else if(x < T->Data){
            T->Left = Insert(x,T->Left);
            if(T->Left->Height - T->Right->Height == 2){
                if(x < T->Left->Data)
                    T = LLRotation(T);
                else
                    T = LRRotation(T);
        }
    }
    T->Height = Max(T->Right->Height,T->Left->Height)+1;
    return T;
}