8.Parseval定理 [学习笔记]

有关傅里叶变换有一个重要的定理，Parseval定理：

$$\int_{-\infty}^{\infty} |{\scr F}f(s)|^2ds = \int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|^2dt \tag 1$$

Parseval定理是能量守恒的一种体现，即能量在时域和频域内总是相同的

证明如下：

设$f$，$g$为给定的两个可积函数，则

$$g(x) = {\scr F}^{-1}({\scr F}g(s)) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{2\pi isx} {\scr F}g(s) ds$$

那么

$$\overline{g(x)} = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-2\pi isx} \overline{{\scr F}g(s)} ds$$

于是

$$\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \overline{g(x)}dx &= \int_{-\infty}^{\infty}f(x) \left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2\pi isx} \overline{{\scr F}g(s)} ds \right)dx\\ &=\int_{-\infty}^{\infty} \left( \int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi isx}f(x)dx \right)\overline{{\scr F}g(s)} ds\\ &=\int_{-\infty}^{\infty} {\scr F}f(s) \overline{{\scr F}g(s)} ds \end{align*}$$

即：

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \overline{g(x)}dx = \int_{-\infty}^{\infty} {\scr F}f(s) \overline{{\scr F}g(s)} ds\tag 2$$

令$(2)$式中的$g=f$，即为$(1)$式的另一种写法。得证。