三、关于二次不等式的恒成立问题
角度一 形如\(f(x)\ge 0(f(x)\leq 0)(x\in R)\)型的不等式确定参数范围
\(\fbox{例3}\)(2017铜川模拟)不等式\(a^2+8b^2\ge \lambda b(a+b)\)对于任意的\(a，b\in R\)恒成立，则实数\(\lambda\)的取值范围为_____________。
法1：(将\(b\)和\(\lambda\)看做系数)将不等式转化为\(a^2-\lambda ba+8b^2-\lambda b^2\ge 0\)对任意的\(a\in R\)恒成立，
则\(\Delta =b^2\lambda^2-4(8b^2-\lambda b^2)=b^2(\lambda^2+4\lambda-32)\leq 0\)，
解得\(-8\leq \lambda \leq 4\)。
法2：当\(b=0\)时，即\(a^2\ge 0\)恒成立，\(\lambda\in R\)；
当\(b\neq 0\)时，原不等式等价于\((\cfrac{a}{b})^2+8\ge \lambda (\cfrac{a}{b})+\lambda\)，
令\(\cfrac{a}{b}=t\in R\)，即\(t^2-\lambda t+8-\lambda\ge 0\)对任意的\(t\in R\)恒成立，
则\(\Delta =(\lambda)^2-4(8-\lambda)\leq 0\)，
解得\(-8\leq \lambda \leq 4\)。
综上所述(两种情况取交集)，实数\(\lambda\)的取值范围为\(-8\leq \lambda \leq 4\)。
角度二 形如\(f(x)\ge 0(x\in[a，b])\)型的不等式确定参数范围
\(\fbox{例4}\)
设函数\(f(x)=mx^2-mx-x(m\neq 0)\)，若对于\(x\in [1，3]\)，\(f(x)<-m+5\)恒成立，求\(m\)的取值范围。
法1：利用二次函数求解，要使\(f(x)<-m+5\)恒成立，即\(mx^2-mx+m-6<0\)，
即\(m(x-\cfrac{1}{2})^2+\cfrac{3}{4}x-6<0\)在\(x\in[1,3]\)上恒成立，
令\(g(x)=m(x-\cfrac{1}{2})^2+\cfrac{3}{4}x-6,x\in [1,3]\)，
当\(m>0\)时，\(g(x)\)在\([1,3]\)上是增函数，
所以\(g(x)_{max}=g(3)=7m-6<0\), 解得\(m<\cfrac{6}{7}\)，
则有\(0<m<\cfrac{6}{7}\)；
当\(m<0\)时，\(g(x)\)在\([1,3]\)上是减函数，
所以\(g(x)_{max}=g(1)=m-6<0\), 解得\(m<6\)，
则有\(m<0\)；
综上所述，\(m\)的取值范围是\((-\infty,0)\cup(0,\cfrac{6}{7})\)。
法2：分类参数法，因为\(x^2-x+1>0\)，由\(f(x)<-m+5\)可得\(m(x^2-x+1)-6<0\)，
故有\(m<\cfrac{6}{x^2-x+1}\)恒成立，
又因为函数\(y=\cfrac{6}{x^2-x+1}=\cfrac{6}{(x-\cfrac{1}{2})^2+\cfrac{3}{4}}\)在区间\([1,3]\)上的最小值为\(\cfrac{6}{7}\),
故只需\(m<\cfrac{6}{7}\)即可，
又因为\(m\neq 0\)，所以\(m\)的取值范围是\((-\infty,0)\cup(0,\cfrac{6}{7})\)。
\(\fbox{例4-1}\)
已知函数\(f(x)=x^2 +ax-2a≥0\)在区间 \([1,5]\)上恒成立，求参数\(a\)的取值范围。
\(\fbox{法1，二次函数法}\)
①由于\(\Delta=a^2+8a≤0\)时满足题意，解得\(-8≤a≤0\)，
求得对称轴\(x=-\cfrac{a}{2}\)，
再考虑对称轴\(x=-\cfrac{a}{2}\)和给定区间\([1，5]\)的相对位置关系
②当\(-\cfrac{a}{2}≤1\)时，即\(a≥-2\)时，函数\(f(x)\)在区间\([1,5]\)单调递增，
所以\(f(x)_{min}=f(1)=1+a-2a≥0\),解得\(-2≤a≤1\)，又因为\(a≥-2\)，所以得到\(-2≤a≤1\)。
③当\(-\cfrac{a}{2}≥5\)时，即\(a≤-10\)时，函数\(f(x)\)在区间\([1,5]\)单调递减，
所以\(f(x)_{min}=f(5)=25+5a-2a≥0\)，解得\(a≥-\cfrac{25}{3}\)，又因为\(a≤-10\)，所以得到\(a\in\varnothing\).
④当\(1<-\cfrac{a}{2}<5\),即\(-10<a<-2\)时，\(f(x)_{min}=f(-\cfrac{a}{2})=\cfrac{a^2}{4}-\cfrac{a^2}{2}-2a≥0\)，
得到\(-8≤a≤0\),又\(-10<a<-2\)，所以\(-8≤a<-2\)（这种情形可以省略）
综上可得\(a\)的取值范围是\([-8,1]\)
法2：分离参数法，先转化为\((x-2)a\ge -x^2，x\in [1，5]\)
接下来就转化为了三个恒成立的命题了，
当\(x=2\)时，原不等式即\((2-2)a\ge -4\)，\(a\in R\)都符合题意；
当\(2<x<5\)时，原不等式等价于\(a\ge \cfrac{-x^2}{x-2}=-(x-2)-\cfrac{4}{x-2}-4=g(x)\)恒成立；
\(g(x)=-(x-2)-\cfrac{4}{x-2}-4\leq 2\sqrt{(x-2)\cdot \cfrac{4}{x-2}}-4=-8\)
求得当\(x=4\)时，\(g(x)_{max}=-8\)，故\(a\ge -8\)
当\(1<x<2\)时，原不等式等价于\(a\leq \cfrac{-x^2}{x-2}=-(x-2)-\cfrac{4}{x-2}-4=g(x)\)恒成立；
\(g(x)=-(x-2)-\cfrac{4}{x-2}-4\ge 2\sqrt{-(x-2)\cdot \cfrac{-4}{x-2}}-4=0\)
当且仅当\(x=0\)时取到等号，并不满足前提条件\(1<x<2\)，故是错解。
此时需要借助对勾函数的单调性，函数\(y=x+\cfrac{4}{x}\)在区间\([1，2]\)上单调递增，
那么\(y=x-2+\cfrac{4}{x-2}\)在区间\([1，2]\)上单调递减，
\(y=-(x-2)-\cfrac{4}{x-2}\)在区间\([1，2]\)上单调递增，\(y=-(x-2)-\cfrac{4}{x-2}-4\)在区间\([1，2]\)上单调递增，
故\(g(x)_{min}=g(1)=1\)，故\(a\leq 1\)
以上三种情况取交集，得到\(a\in [-8，1]\)。
角度三 形如\(f(x)\ge 0(参数m\in[a，b])\)型的不等式确定参数范围
\(\fbox{例5}\)已知\(a\in[-1,1]\)时不等式\(x^2+(a-4)x+4-2a>0\)恒成立，则\(x\)的取值范围是多少？
分析：主辅元换位，把不等式的左端看成关于\(a\)的一次函数，
记为\(f(a)=(x-2)a+x^2-4x+4\)，则由\(f(a)>0\)对于任意的\(a\in[-1,1]\)恒成立，
只需\(\begin{cases}f(-1)>0\\f(1)>0\end{cases}\)即可，
即\(\begin{cases}x^2-5x+6>0\\x^2-3x+2>0\end{cases}\)，
解得\(x<1\)或\(x>3\)，则\(x\)的取值范围是\((-\infty,1)\cup(3,+\infty)\).
四、对应练习：
1、(2017新余模拟)不等式\(x^2-2x+5\ge a^2-3a\)对任意实数\(x\)恒成立，则实数\(a\)的取值范围是
分析：令\(a^2-3a=A\)，\(x^2-2x+5=f(x)\)，
则转化为\(f(x)\ge A\)对任意实数恒成立，即需要求解\(f(x)_{min}\);
2、已知不等式\(x^2-2x+a>0\)对任意实数\(x\in[2,3]\)恒成立，则实数\(a\)的取值范围是___________.
分析：分离参数得到\(a>-x^2+2x\)对任意实数\(x\in[2,3]\)恒成立，
即需要求函数\(f(x)=-x^2+2x,x\in[2,3]\)的\(f(x)_{max}\),
\(f(x)=-(x-1)^2+1,x\in[2,3]\),故\(f(x)_{max}=f(2)=0\)，则得到\(a>0\).
3、已知函数\(f(x)=-x^2+ax+b^2-b+1(a\in R,b\in R)\),对任意实数\(x\)都有\(f(1-x)=f(1+x)\)成立，若当\(x\in[-1,1]\)时，\(f(x)>0\)恒成立，则\(b\)的取值范围是_____________.
分析：先由\(f(1-x)=f(1+x)\)得到，二次函数的对称轴\(x=-\cfrac{a}{-2}=1\)，解得\(a=2\)，
故题目转化为\(-x^2+2x+b^2-b+1>0\)对任意\(x\in [-1,1]\)恒成立，
用整体法分离参数，
得到\(b^2-b>x^2-2x-1\)对任意\(x\in[-1,1]\)恒成立。
令\(g(x)=x^2-2x-1，x\in[-1,1]\)，需要求函数\(g(x)_{max}\)；
\(g(x)=x^2-2x-1=(x-1)^2-2，x\in[-1，1]\)，
故\(g(x)\)在区间\([-1，1]\)上单调递减，则\(g(x)_{max}=g(-1)=2\)，
故\(b^2-b>2\)，解得\(b<-1\)或\(b>2\)。