抽象代数基础 群论(1)

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$\text{definition}$ 群：一个群是一个集合G带有一个二元运算，
这个二元运算一般称为乘法$\cdot:G\times G\to G$，将$(a,b)记作a\cdot b或者ab$，称为积。
群的判定：①运算$\cdot$满足结合律；②运算的群中存在单位元；③任意群元素在运算下存在逆元。

若满足交换律，称这种群为阿贝尔群。

$\text{definition}$ 子群：设$G$是群，则$G$的子集$H$若满足群的性质，称$H$是$G$的子群，记作$H\leqslant G$。
子群的判定：①封闭；②群$G$的单位元$e\in H$；③若$a\in H,G$，则$a^{-1}\in H,G$。

显然$\{e\}$和$G$是群$G$的子群，称为平凡子群。$\{e\}$称为群$G$的零子群（只有一个元的群称为零群）。

举例：整数集$Z$是加法阿贝尔群，$nZ$是整数集的子群。

$\text{definition }$ 若群$G$是有限集，则称其为有限群。群$G$的基数称为$G$的阶，记作$|G|$.若G不是有限集，记$|G|=\infty$。

$\text{Example }$研究集合$S$的置换组成的集合$\mathrm{Per}(S)$的性质：
对任意$\sigma,\tau\in \mathrm{Per}(S)$，有$\sigma \circ\tau\in \mathrm{Per}(S)$，并且显然$\circ$在$\mathrm{Per}(S)$上有结合律.
对任意$\sigma \in \mathrm{Per}(S)$，恒等映射$\mathrm{id}_S$满足$\mathrm{id}_S\circ \sigma=\sigma\circ\mathrm{id}_S=\sigma\in \mathrm{Per}(S)$.所以$\mathrm{id}_S$是$\mathrm{Per}(S)$上的单位元.
对任意$\sigma \in \mathrm{Per}(S)$，因为其为双射有其逆映射$\sigma^{-1}\in\mathrm{Per}(S)$.
所以$\left<\mathrm{Per}(S),\circ\right>$是群。

$\text{Example }$有n个元素集合上的置换称为n次对称群，记作$S_n$.
对任意$\sigma \in S_n$，有$\sigma \Delta=\displaystyle \prod_{1\leqslant i<j\leqslant n}(\sigma(j)-\sigma(i))=\pm\prod_{i=2}^{n-1}i!$。若$\sigma \Delta$为正，称该置换为偶置换，否则为奇置换。
所有的偶置换也组成一个群，称为交错群，记作$A_n$.
两个群之间的映射如果是相容的，则称为同态。

$\text{definition }$若$f:G\to G'$,且$\forall a,b\in G，有f(ab)=f(a)f(b)$，则称$f$是群同态。

同态将单位元映射成单位元，将逆元映射成逆元。
更一般的说同态将子群映射成子群，将$n$次幂映射成$n$次幂。

若群同态$f$是满射，单射和双射，则分别称群同态$f$是满同态，单同态，同构。

$\text{Example }$设$f:S\to T$为双射，则有对任意$\sigma \in \mathrm{Per}(S)$，给出一个映射$\phi_\sigma=f\circ\sigma\circ f^{-1}:T\to T$。现在研究该映射性质。
$\phi_\sigma\circ \phi_\tau=f\circ\sigma\circ f^{-1}\circ f\circ\tau\circ f^{-1}=f\circ\sigma\circ \tau\circ f^{-1}=\phi_{\sigma\circ\tau}$.同时若$\tau=\sigma^{-1}$，则$\phi_\sigma\circ \phi_\tau=\phi_\tau\circ\phi_\sigma=\mathrm{id}_T$，所以$\phi_\sigma\in \mathrm{Per}(T)$.
于是给出$\Phi_f:\mathrm{Per}(S)\to\mathrm{Per}(T),\sigma\mapsto \phi_\sigma$，是同态。易证其是同构。
(从中可以猜想若$f$是双射，则由$f$诱导的同态是同构？)