台阶问题——1、可以跳1阶2阶，2、可以跳1阶2阶3阶...n阶

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常见台阶跳法：

1. 小明（一只青蛙）一次可以跳上 1 级台阶，也可以跳上2 级。求该青蛙跳上一个n 级的台阶总共有多少种跳法
2. 小明（或一只青蛙）一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2 级……它也可以跳上n 级，此时该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法？

这其实是斐波那契数列

问题1：分析

当n = 1， 只有1中跳法；
当n = 2时，有两种跳法；
当n = 3 时，有3种跳法；
当n = 4时，有5种跳法；
当n = 5时，有8种跳法；
…….
规律类似于Fibonacci数列（1，1，2，3，5，8，13，……）

问题1 的Java实现：

public static int jump1(int num) {
    //fibonaci:1，1，2，3，5，8，13，21……
    if(num <0) return -1;
    if(num == 1 || num == 2) return 1;  
    return jump1(num-1)+jump1(num-2);
}

问题2 ：分析：

用Fib(n)表示青蛙跳上n阶台阶的跳法数
设定Fib(0) = 1；
当n = 1 时， 有0+1：Fib(1) = Fib(0) = 1;
当n = 2 时， 有：0+2，1+1：Fib(2) = Fib(1) + Fib(0) = 2;
当n = 3 时，有：0+3，1+1+1，1+2，2+1，：Fib(3) = Fib(2) + Fib(1)+Fib(0)=4;
……
当n = n 时，有Fib(n) = Fib(n-1) + Fib(n-2) + …… + Fib(2) + Fib(1) + Fib(0) ;

计算分析：

Fib(n) = Fib(n-1) + Fib(n-2) + Fib(n-3)…… + Fib(2) + Fib(1) + Fib(0) (1)
Fib(n-1) = Fib(n-2) + Fib(n-3) + Fib(n-4)…… + Fib(2) + Fib(1) + Fib(0) (2)
把(2)式代入(1)式，即可得：
n阶跳：Fib(n) = 2*Fib(n-1) = 2^(n-1)

问题2的Java实现：

public static int jump1(int num) {
//fibonaci:1，1，2，3，5，8，13，21……
    if(num <0) return -1;
    if(num == 1 || num == 2) return 1;  
    return jump1(num-1)+jump1(num-2);
}

public static int jump2(int num) {
    return 1<<(num-1);//移位操作更快，2^(n-1)
}

运行结果如下：

跳到  10 阶
1阶2阶的跳法有 55 种
1阶2阶……n阶的跳法有 110 种

跳到  20 阶
1阶2阶的跳法有 6765 种
1阶2阶……n阶的跳法有 13530 种

跳到  5 阶
1阶2阶的跳法有 5 种
1阶2阶……n阶的跳法有 10 种