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Abstract: 本文介绍正态分布第三部分，标准正态分布，正态分布的线性组合，对数正态分布以及对数正态分布Keywords: The Normal Distributions，The Standard Normal Distribution
废话就是概率论基础知识部分快要结束了，接下来的关于数理统计部分的内容很多都是依赖概率论的知识的，所以打好基础才好继续深入。
Definition Standard Normal Distribution.The normal distribution with mean 0 and variance 1 is called the standard normal distribution.The p.d.f. of the standard nromal distribution is usually denoted by the symbol
ϕ
\phi
ϕ
Φ
\Phi
Φ
ϕ
(
x
)
=
f
(
x
∣
0
,
1
)
=
1
(
2
π
)
1
/
2
e
−
1
2
x
2
for
−
∞
<
x
<
∞
\phi(x)=f(x|0,1)=\frac{1}{(2\pi)^{1/2}}e^{-\frac{1}{2}x^2} \text{ for }-\infty<x<\infty
ϕ ( x ) = f ( x ∣ 0 , 1 ) = ( 2 π ) 1 / 2 1 e − 2 1 x 2 for − ∞ < x < ∞
Ψ
(
x
)
=
∫
−
∞
x
Ψ
(
μ
)
d
μ
for
−
∞
<
x
<
∞
\Psi(x)=\int^{x}_{-\infty}\Psi(\mu)d\mu \text{ for }-\infty<x<\infty
Ψ ( x ) = ∫ − ∞ x Ψ ( μ ) d μ for − ∞ < x < ∞
第二个公式中
μ
\mu
μ
Theorem Consequences of Symmetry.For all x and all
0
<
p
<
1
0 < p < 1
0 < p < 1
Ψ
(
−
x
)
=
1
−
Ψ
(
x
)
and
Ψ
−
1
(
p
)
=
−
Ψ
−
1
(
1
−
p
)
\begin{aligned} \Psi(-x)=1-\Psi(x) \text{ and } \Psi^{-1}(p)=-\Psi^{-1}(1-p) \end{aligned}
Ψ ( − x ) = 1 − Ψ ( x ) and Ψ − 1 ( p ) = − Ψ − 1 ( 1 − p )
这个证明相对简单，其实主要考察的是上一篇关于正态分布的形状问题，正态分布p.d.f.的根本性质是对称性，关于均值对称，这个性质就可以衍生出上面定理的结论，比如
P
r
(
X
≤
−
x
)
=
P
r
(
X
≥
x
)
Pr(X\leq -x)=Pr(X\geq x)
P r ( X ≤ − x ) = P r ( X ≥ x )
Ψ
−
1
(
Ψ
(
−
x
)
)
=
Ψ
−
1
(
p
)
\Psi^{-1}(\Psi(-x))=\Psi^{-1}(p)
Ψ − 1 ( Ψ ( − x ) ) = Ψ − 1 ( p )
Ψ
−
1
(
1
−
Ψ
(
x
)
)
=
−
Ψ
−
1
(
1
−
p
)
\Psi^{-1}(1-\Psi(x))=-\Psi^{-1}(1-p)
Ψ − 1 ( 1 − Ψ ( x ) ) = − Ψ − 1 ( 1 − p )
Theorem Converting Normal Distributions to Standard.Let
X
X
X
μ
\mu
μ
σ
2
\sigma^2
σ 2
F
F
F
X
X
X
Z
=
(
X
−
μ
)
/
σ
Z=(X-\mu)/\sigma
Z = ( X − μ ) / σ
0
<
p
<
1
0 < p < 1
0 < p < 1
F
(
x
)
=
Φ
(
x
−
μ
σ
)
F
−
1
(
p
)
=
μ
+
σ
Φ
−
1
(
p
)
F(x)=\Phi(\frac{x-\mu}{\sigma})\\ F^{-1}(p)=\mu+\sigma\Phi^{-1}(p)
F ( x ) = Φ ( σ x − μ ) F − 1 ( p ) = μ + σ Φ − 1 ( p )
这个定理要完成的一个任务是把一个一般的正态分布，通过随机变量的函数将原正态分布转换成标准正态分布，方法是目标随机变量减去均值后的差再除以标准差。
P
r
(
X
≤
x
)
=
P
r
(
Z
≤
x
−
μ
σ
)
Pr(X\leq x)=Pr(Z\leq \frac{x-\mu}{\sigma})
P r ( X ≤ x ) = P r ( Z ≤ σ x − μ )
p
=
F
(
x
)
p=F(x)
p = F ( x )
F
−
1
(
p
)
=
μ
+
σ
Φ
−
1
(
p
)
F^{-1}(p)=\mu+\sigma\Phi^{-1}(p)
F − 1 ( p ) = μ + σ Φ − 1 ( p )
我们来举个计算的例子，我们来计算一个正态分布中的概率，假设X有一个正态分布，均值是5方差是2，我们来计算
P
r
(
1
<
X
<
8
)
Pr(1<X<8)
P r ( 1 < X < 8 )
Z
=
(
X
−
5
)
/
2
Z=(X-5)/2
Z = ( X − 5 ) / 2
P
r
(
1
<
X
<
8
)
=
P
r
(
1
−
5
2
<
X
−
5
2
<
8
−
5
2
)
=
P
r
(
−
2
<
Z
<
1.5
)
futhermore:
P
r
(
−
1
<
Z
<
1.5
)
=
P
r
(
Z
<
1.5
)
−
P
r
(
Z
≤
−
2
)
=
Φ
(
1.5
)
−
Φ
(
−
2
)
=
Φ
(
1.5
)
−
[
1
−
Φ
(
2
)
]
Pr(1<X<8)=Pr(\frac{1-5}{2}<\frac{X-5}{2}<\frac{8-5}{2})=Pr(-2<Z<1.5)\\ \text{futhermore:}\\ \begin{aligned} Pr(-1<Z<1.5)&=Pr(Z<1.5)-Pr(Z\leq -2)\\ &=\Phi(1.5)-\Phi(-2)\\ &=\Phi(1.5)-[1-\Phi(2)] \end{aligned}
P r ( 1 < X < 8 ) = P r ( 2 1 − 5 < 2 X − 5 < 2 8 − 5 ) = P r ( − 2 < Z < 1 . 5 ) futhermore: P r ( − 1 < Z < 1 . 5 ) = P r ( Z < 1 . 5 ) − P r ( Z ≤ − 2 ) = Φ ( 1 . 5 ) − Φ ( − 2 ) = Φ ( 1 . 5 ) − [ 1 − Φ ( 2 ) ]
Φ
(
1.5
)
=
0.9332
\Phi(1.5)=0.9332
Φ ( 1 . 5 ) = 0 . 9 3 3 2
Φ
(
2
)
=
0.9773
\Phi(2)=0.9773
Φ ( 2 ) = 0 . 9 7 7 3
P
r
(
1
<
X
<
8
)
=
0.9105
Pr(1<X<8)=0.9105
P r ( 1 < X < 8 ) = 0 . 9 1 0 5
本section的精髓是，首先我们没办法计算正态分布的不定积分，所以想求值要查表，查表你有不能对每一个分布参数都建表，所以要制造一个标准，其他的不同参数和标准有数字关系，于是定义一个标准正态分布，然后所有正态分布和标准正态分布产生数字联系，就能用一张表解决问题了。
本文节选自原文地址：https://www.face2ai.com/Math-Probability-5-6-The-Normal-Distributions-P3 转载请标明出处