title: 【概率论】5-6:正态分布(The Normal Distributions Part II) categories: - Mathematic - Probability keywords: - The Normal Distributions toc: true date: 2018-03-29 15:02:03
Abstract: 本文介绍正态分布的数学性质 Keywords: The Normal Distributions
开篇废话
一共要写四篇,哪来那么多废话。 首先我们要从最基础的原始的正态分布的数学原理说起
Properties of Normal Distributions
Definition
到目前为止,我们还没看到正态分布长什么样。
Definition and p.d.f. A random X has the normal distribution with mean μ and variance σ2 (−∞<μ<∞ and σ>0) if X has a contimuous distribution with the following p.d.f. f(x∣μ,σ2)=(2π)21σ1e−21(σ(x−μ))2for−∞<x<∞ 定义对于我们来说就是个准确的命名过程。那么我们接下来要证明的是定义里说的对不对? Theorem f(x∣μ,σ2)=(2π)21σ1e−21(σ(x−μ))2for−∞<x<∞ is a p.d.f.
思路:证明一个表达式是不是,p.d.f.,肯定要根据p.d.f.的定义,①不能出现负数,②积分结果是1。 首先观察函数,发现其不可能出现负数,所以性质1符合p.d.f.的性质 那么接下来是求积分,并确保是1,不是说不能积分么,这里怎么做呢? 首先我们令 y=σx−μ 那么 ∫−∞∞f(x∣μ,σ2)dx=∫−∞∞(2π)1/21e−21y2dywe shall now let:I=∫−∞∞e−21y2dy 所以我们只要证明 I=(2π)1/2 就算是得到结论了,但是怎么证明呢?我们用用1的特点吧,1和1相乘还是1所以我们让两个积分相乘,我们来到了二重积分的世界解决这个问题: I2to the polar coordinates r and θ:I2substitute v=r2/2=I×I=∫−∞∞e−21y2dy⋅∫−∞∞e−21z2dz=∫−∞∞∫−∞∞e−21(y2+z2)dydz=∫02π∫0∞e−21(r2)rdrdθ∫0∞e−vdv=1
证毕。 也就证明了两个这个积分相乘的结果是1,但是我们并没有求出他的反函数。
m.g.f.
m.g.f. 一旦得到相应的均值和方差就非常简单了。
Theorem Moment Generating Function.The m.g.f. of the distribution with p.d.f. given by upside is ψ(t)=eμt+21σ2t2 for −∞<t<∞