【概率论】5-10:二维正态分布(The Bivariate Normal Distributions)

title: 【概率论】5-10:二维正态分布(The Bivariate Normal Distributions)
categories:
- Mathematic
- Probability
keywords:
- The Bivariate Normal Distributions
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date: 2018-04-05 22:03:55

Abstract: 本文介绍第一个多变量连续分布——双变量正态分布(本篇内有未证明定理，需要后续要补充 )
Keywords: The Bivariate Normal Distributions

开篇废话

今天的废话想说说我们周围会有各种各样的事，各种各样的诱惑，各种各样的理由来告诉我们读书学习很苦而不学习也可以活的很好，但是坚持还是放弃只能选择一次，所以要慎重，开弓没有回头箭，放弃学习，就相当于放弃了一条抗争的路。

万般皆下品惟有读书高

今天我们来研究双变量的正态分布，多变量，连续分布。
对于某些研究者，可能用正态分布来非常好的描述某个随机变量，那么如果我们有两个随机变量，都可以用正态分布描述，而且他们之间存在关系，这时候我们就可以用一个双变量正态分布来描述了这两个变量之间的关系，并且这个二维分布的边缘分布，还是这两个随机变量单变量的分布。5.6中我们介绍了某些有正态分布的独立随机变量的线性组合还是正态分布。但是双变量正态分布（联合分布）可以是相关的。

Definition and Derivation of Bivariate Normal Distributions

Theorem Suppose that $Z_1$ and $Z_2$ are independent random variables,each of which has the standard normal distribution.Let $\mu_1,\mu_2,\sigma_1,\sigma_2$ ,and $\rho$ be constants such that $-\infty<\mu_i<\infty(i=1,2)$ , $\sigma_i>0(i=1,2)$ ,and $-1<\rho<1$ . Define two new random variables $X_1$ and $X_2$ as follows:
$X_1=\sigma_1Z_1+\mu_1\\ X_2=\sigma_2[\rho Z_1+(1-\rho^2)^{\frac{1}{2}}Z_2]+\mu_2 \tag{5.10.1}$
The joint p.d.f. of $X_1$ and $X_2$ is
$f(x_1,x_2)=\frac{1}{2\pi(1-\rho^2)^{\frac{1}{2}}\sigma_1\sigma_2}e^{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}[(\frac{x_1-\mu_1}{\sigma_1})^2-2\rho(\frac{x_1-\mu_1}{\sigma_1})(\frac{x_2-\mu_2}{\sigma_2})+(\frac{x_2-\mu_2}{\sigma_2})^2]} \tag{5.10.2}$

上面这个定理的证明需要定理3.9.5 ，而定理3.9.5是个选证题，也就是说会在我们后面的高级课程中进行证明，所以这个定理也就没法证明了，在证明了3.9.5 以后，我们会对此定理进行证明。

Theorem Suppose that $X_1$ and $X_2$ have the joint distribution whose p.d.f. is given by Eq.(5.10.2) Then there exist independent standard normal random variables $Z_1$ and $Z_2$ such that Eqs (5.10.1) hold .Also,the mean of $X_i$ is $\mu_i$ and the variance of $X_i$ is $\sigma_i^2$ for $i=1,2$ .Furthermore the correlation between $X_1$ and $X_2$ is $\rho$ .Finally,the marginal distribution of $X_i$ is the normal distribution with mean $\mu_i$ and variance $\sigma_i^2$ for $i=1,2$

此定理的证明也需要 3.9.5 的结论，所以我们目前只做不严谨的推理，两个联合分布如5.10.2，那么他们中的一个随机变量的分布（也就是联合变量的边缘分布）就是一个正态分布。均值和方差可求。

Definition Bivariate Normal Distributions.When the joint p.d.f. of two random variables $X_1$ and $X_2$ is of the form in Eq(5.10.2),it is said that $X_1$ and $X_2$ have the bivariate normal distribution with mean $\mu_1$ and $\mu_2$ variance $\sigma_1^2$ and $\sigma_2^2$ ,and correlation $\rho$

以上就是第一部分要讲的内容，两个没证明的定理，和一个定义，这篇文章看起来有点水，确实是这样，但是如果没有知识又不完全，算是个占位符，但是双变量正态分布这个用途确实太多了，举个最简单的例子，我们的身高体重，就经常用双变量的正态分布来建模。

Properties of Bivariate Normal Distributions

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