数值分析实验报告 Lab1 误差的影响

一、问题引出

（一）问题实例：

利用 $n$ 阶泰勒展开多项式 $\sum\limits_{i=0}^n(\frac{x^i}{i!})$ 计算函数 $f(x)=e^x$ 在给定 $x$ 的值。要求绝对误差在最大阶数 $MAXN=20$ 以内达到给定精度 $EPS=0.00001$ ，即使得 $\left|\sum\limits_{i=0}^n(\frac{x^i}{i!})-e^x\right|<EPS$ 并且 $n<MAXN$ 。

（二）具体要求：

裁判输入数据：

1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
-6

标准输出数据：

2.7183
7.3891
20.0855
54.5981
-1.0000
0.3679
0.1353
0.0498
0.0183
0.0067
0.0025

注意到第5组数据中，当 x=5 时，泰勒展开多项式前20项的和产生的误差大于0.00005，达不到要求的精度0.00001，故应输出-1.0000。

（三）裁判程序如下：

#include<stdio.h>
#include<math.h>

#define EPS 0.00001
#define MAXN 20

double Exp_Calculate( double x );

int main()
{
  double x; /* 存储输入的浮点数x */

  while (scanf("%lf", &x)!= EOF)
    printf("%.4lf\n", Exp_Calculate(x));

  return 0;
}
double Exp_Calculate( double x ){
   /* 填写代码段*/
}

Tips：函数接口定义：double Exp_Calculate( double x )，其中 x 为给定点，函数返回达到精度要求的近似的值。常数 $MAXN$ 和 $EPS$ 在裁判程序中定义。若无法在 $MAXN$ 次叠加内达到精度，则函数返回 -1。

二、分析与实践

（一）问题分析

此处代码段重在 double Exp_Calculate( double x ) 的实现。
首先是代码模块流程的分析与建立。

设定步：设定默认变量值 power=1.0（求和分子），factorial = 1.0（求和分母），sum=1.0（总和）
过程步：不断迭代得到 sum 值
决策步：判断 $\left|\sum\limits_{i=0}^n(\frac{x^i}{i!})-e^x\right|<EPS$

（二）实验分析

起初实现其实是个比较容易的过程。
但刚开始程序1.0版本是这样的：

double Exp_Calculate( double x ){

    //默认值设定
    double power=1.0;
    double factorial = 1.0;
    double sum=1.0;
    int i;
    
    //过程步求和
    for(i=1;i<MAXN;i++){
        //printf("sum[%d]=%lf\n",i,power/factorial);
        power*=x;
        factorial*=(double)i;
        sum+=power/factorial;
    }
    
    //决策步终止
    if(fabs(sum-exp(x))<EPS){return sum;}
    else{return -1;}
}

测试：部分测试正确，但是当输入-5的时候结果为-1。这就挺令人郁闷的了。
接着为了找到问题，利用如下代码块打印过程：

printf("sum[%d]=%lf\n",i,power/factorial);

结果显示：
在这里插入图片描述

其实刚开始我还没有缓过神来。经老师的指导，原来是在13行or14行以后，由于小数相近，导致相加负数或者说是相减时，小数的有效位数减少了，进而引发收敛速度变慢，最终不能得到想要的结果。而为了解决这种问题的发生，最好的方式就是防止负数的出现。

（三）解决方案

思路： $\left|\sum\limits_{i=0}^n(\frac{x^i}{i!})-e^x\right|<EPS$ ，由这个公式，或者说重点也就是看这个公式。

在式子中，可以发现 $e^x$ 始终都为正数，但它存在一个等式 $e^x=\frac{1}{e^{-x}}$ ，这个等式说明，当输入为负数的时候，它的计算方式是将它倒数化，进而以正数的计算方式进行。这点值得注意。
继续考虑 $\sum\limits_{i=0}^n(\frac{x^i}{i!})$ ，可以发现，当输入的 $x$ 为负数，那么 $\sum\limits_{i=0}^n(\frac{x^i}{i!})$ 这个式子里的项有可能为正数，有可能为负数，进而会导致结果有损失，那么相应的解决方案就是将它正数化。
具体而言，已知 $e^x=\frac{1}{e^{-x}}$ 且当 $n$ 足够大的时候， $\sum\limits_{i=0}^n(\frac{x^i}{i!})\approx e^x=\frac{1}{e^{-x}}$ ( 更详细的是， $e^x=\frac{1}{e^{-x}}\approx \sum\limits_{i=0}^n(\frac{x^i}{i!})=\frac{1}{\sum\limits_{i=0}^n(\frac{(-x)^i}{i!})}$ )，那么此题也可以建立在这一点上进行操作，即根据下述代码： $sum=\sum\limits_{i=0}^n(\frac{x^i}{i!})$ ，当输入的 $x$ 为负数的时候，要求 $\sum\limits_{i=0}^n(\frac{x^i}{i!})$ 中的项为正，结合代码部分，输入负数 $x$ ，将它先变为正数（而我们实际需要的是负数 $x$ 对应的值），可以利用 $\sum\limits_{i=0}^n(\frac{(-x)^i}{i!})=\frac{1}{\sum\limits_{i=0}^n(\frac{(x)^i}{i!})}$ 式子，进而求得的 $1.0/sum$ 就是我们所需的值。

接着可以这样加入判断进而解决问题：

    //Judge if x < 0
    if(x<0){//如果输入是负数
    
        x=-x;//先变为正数
        
        //正数运算，sum为正数
        for(i=1;i<MAXN;i++){
            //printf("sum[%d]=%lf\n",i,power/factorial);
            power*=x;
            factorial*=(double)i;
            sum+=power/factorial;
        }
        
        //-x仍然为负数，进行运算
        if(fabs(1.0/sum-exp(-x))<EPS){return 1.0/sum;}
        else{return -1;}
    }
    //if x > 0
    else{//如果输入为正数
    
        //正数运算
        for(i=1;i<MAXN;i++){
            //printf("sum[%d]=%lf\n",i,power/factorial);
            power*=x;
            factorial*=(double)i;
            sum+=power/factorial;
        }
       
       //正数运算
       if(fabs(sum-exp(x))<EPS){return sum;}
       else{return -1;}
    }

三、最终代码

以下为具体代码结果，测试均正确。

#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define EPS 0.00001
#define MAXN 20

//函数声明段
double Exp_Calculate( double x );

//主函数段
int main()
{
  double x; /* 存储输入的浮点数x */

  while (scanf("%lf", &x)!= EOF)
    printf("%.4lf\n", Exp_Calculate(x)); /*保留四位小数*/

  return 0;
}

//函数实现段
double Exp_Calculate( double x ){

    //default value
    double power=1.0;
    double factorial = 1.0;
    double sum=1.0;
    int i;
    
    //Judge if x < 0
    if(x<0){
    
        x=-x;
        
        for(i=1;i<MAXN;i++){
            //printf("sum[%d]=%lf\n",i,power/factorial);
            power*=x;
            factorial*=(double)i;
            sum+=power/factorial;
        }
        
        if(fabs(1.0/sum-exp(-x))<EPS){return 1.0/sum;}
        else{return -1;}
    }
    //if x > 0
    else{
        for(i=1;i<MAXN;i++){
            //printf("sum[%d]=%lf\n",i,power/factorial);
            power*=x;
            factorial*=(double)i;
            sum+=power/factorial;
        }
        
       if(fabs(sum-exp(x))<EPS){return sum;}
       else{return -1;}
    }
}

*个人感想：*微乎其微的细小误差也可以造成大的灾难，在计算机的世界里，浮点数的存在也是一种艺术美。但是，我们需要更加精细，更加精确，明白数据处理关系，解决误差存在的问题。算法的优劣性不仅仅取决于效率，更需要准确来恒定。

@author Richard
@date 2018.09.19
@date 2018.10.01 modified