「PKUSC2018」最大前缀和

状压好题啊。

一眼看出时间复杂度 \(O(n2^n)\)，然后开始想正解。

然后设 \(dp_i\) 为前缀状态为 \(i\) 时的方案数，所以这时候 \(sum_i\) 一定是单峰的。

可以推导出：

\[(1\leq j<i)\ sum_i\geq sum_j\Rightarrow sum_i-sum_j\geq 0\]

\[(i<j\leq n)\ sum_j<sum_i\Rightarrow sum_j-sum_i<0\]

那么我们相当于求两个序列拼凑起来，一个序列前缀和除第一项始终 \(\geq 0\)（因为 \(sum_i-sum_1\) 不包括第一项，但是 \(sum_n-sum_i\) 包括最后一项），一个前缀和始终 \(<0\)。\(f_i\) 表示前缀和为负数的，\(g_i\) 表示前缀和为正数的，那么 \(g_i\) 拼凑时 \(i>0\)。每一个状态对于答案的贡献为 \(g_i\times f_{lim\ xor\ i}\times (sum_i+p)\%p\)

时间复杂度 \(O(n2^n)\)

\(Code\ Below:\)

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int p=998244353;
int n,lim,a[20],sum[1<<20],f[1<<20],g[1<<20];

int main()
{
    scanf("%d",&n);lim=(1<<n)-1;
    for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=lim;i++)
        for(int j=0;j<n;j++)
            if(i&(1<<j)){
                sum[i]=sum[i^(1<<j)]+a[j];
                break;
            }
    f[0]=g[0]=1;
    for(int i=1;i<=lim;i++)
        if(sum[i]<0)
            for(int j=0;j<n;j++)
                if((i&(1<<j))&&(sum[i^(1<<j)]<0||!(i^(1<<j)))) f[i]=(f[i]+f[i^(1<<j)])%p;
    for(int i=1;i<=lim;i++)
        for(int j=0;j<n;j++)
            if((i&(1<<j))&&(sum[i^(1<<j)]>=0||!(i^(1<<j)))) g[i]=(g[i]+g[i^(1<<j)])%p;
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=lim;i++) ans=(ans+(ll)g[i]*f[lim^i]%p*(sum[i]+p)%p)%p;
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}