Codeforces Round #369 (div.2) 即 Codeforces 711

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CodeForces Round #369 (div.2) Descreption

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A

有N排座位，每排有4个，这4个被分成了两组。给出每个座位是否是空的，问是否有相邻的座位。

B

给你一个N * N的幻方，其中缺了一个格子，要求你填上。

C

有N个点M种颜色，有些点没有颜色。给出了每个点分别染色成每种颜色的代价，要求染色后颜色的段数等于K。求最小代价。

D

有N个点，每个点有一条出边，你可以任意转换边的方向。问有多少种方案，使得整个图没有环。

E

一年有2 ^ N天，有K个人。问有两个人生日在同一天的概率。请输出最简分数，同时最简分数的分子分母还要取模。

CodeForces Round #369 (div.2) Solutions

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A

直接检查即可，注意字符串的读入。

B

任取一个已经填满的行，算出和，求出空白，再验证：

1. 行，列，主对角线的和是否一样。
2. N是否为1。
3. 答案是否为负数。

C

• 一个显然的DP。对于每个点只需要纪录两个状态：该点的颜色、从1到该点的颜色段数。转移时只要枚举下一个点的颜色（如果未确定），再判断颜色段数是否增加（即是否和当前颜色一样）即可。复杂度O(N ^ 4).

• 优化:

D

1. 首先可以看出这个图是一个环套树的森林。（了解一下环套树的概念）
2. 考虑一个环套树：对于一个无向环，只有两种反转会使得他变成一个有向环。对于不在环上的边，是否取反显然无关。那么这个环套树的方案即(2 ^ M - 2) * 2 ^ (N - M)，其中N是环套树的点数，M是环的大小。
3. 不同的连通块的答案显然可以相乘。

E

• 这个题的答案是一个显然且经典的问题。设一年有N天，一共有K个人，那么所有人的生日都不在同一天的概率（即答案的补）为(N - 1) * (N - 2) * … * (N - K + 1) / N ^ K. 详细证明见《算法导论5.4.1》。

• 接下来的任务是约分。因为天数是2 ^ N，所以只用计算分子中有多少个2即可。观察下分子，发现分子中2的个数和-1 to -K + 1中的个数一样，即和1 to K - 1中的个数一样。统计1 to K - 1中2的个数是个十分简单的问题，分别计算2的幂的出现次数并求和即可。

• 最后要对分子和分母取模。分母取模是一个快速幂的事情。观察到模数特别小，而分子是一段连续数的连乘，且约去的数只有2（因为2和Mod互质，所以不用担心Mod的倍数除2后不再是Mod的倍数）。所以当K超过Mod时必然有Mod的倍数出现，那么取模后等于0。若K不超过Mod即K不超过1000003，暴力计算即可。

• 当然别忘了取补。