Codeforces Round #711 (Div. 2) 补题A B

A.GCD Sum

分析： 只需要寻找三次即可。
证明： 考虑一个数被$3$整除，$3,6,9,12,15,\cdots ,3\ast k$，即每一个被3整除的数区间长度都为$3$，所以对于任意一个数，至多需要操作$3$次就可以找到下一个被$3$整除的数。
至于为什么要找被$3$整除的数，因为被$3$整除的数都有一个性质：各位之和也被$3$整除。这样就可以满足题目条件，一个数字与各位数字之和的$\text{gcd}$不为$1$而为3。
利用数学归纳法证明这一性质：
设有整数$ab$被$3$整除，
则有$ab=a\ast 10+b=9\ast a+a+b$
要被$3$整除必须有$(a+b)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3=0$
设有整数$abc$被$3$整除，
则有$abc=a\ast 100+b\ast 10+c=99\ast a+9\ast b+a+b+c$
要被$3$整除必须有$(a+b+c)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3=0$
设整数$a\cdots k$被3整除，
则有$a\cdots k=99\cdots 9\ast a+\cdots +a+\cdots +k$，
要被$3$整除必须有$(a+\cdots +k)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3=0$
设整数$a\cdots k(k+1)$被3整除，
则有$a\cdots k(k+1)=99\cdots 9\ast a+\cdots +a+9\ast k+\cdots +k+(k+1)$，
要被$3$整除必须有$(a+\cdots +k+(k+1))\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3=0$

代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL gcd(LL a,LL b){
    
    
	return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int t;
LL n;
int main(){
    
    
    cin>>t;
    while(t--){
    
    
        cin>>n;
        LL wei=0,tmp=n;
        while(tmp){
    
    
            wei+=tmp%10;
            tmp/=10;
        }
        while(gcd(n,wei)==1){
    
    
            n++;
            tmp=n;
            wei=0;
            while(tmp){
    
    
                wei+=tmp%10;
                tmp/=10;
            }
        }
        cout<<n<<endl;
    }
}

B. Box Fitting

分析： 先初始化宽度为$k$，高度为$1$，将方格从大到小排序，每次取最大的方格，往里面放，如果放不下去，那么就新增高度，因为显然长度大的方块比长度小的方块最优。
这里排序可以利用$2$的幂次方这一性质，从大到小枚举，题目数据范围为$1e9$，故而方块的幂只能$\le 19$。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int t,n,w,x;
int main(){
    
    
    cin>>t;
    while(t--){
    
    
        vector<int> a(20);
        cin>>n>>w;
        int cnt=1,res=w;
        for(int i=0;i<n;i++){
    
    
            cin>>x;
            a[log2(x)]++;
        }
        for(int i=0;i<n;i++){
    
    
            int flag=-1;
            for(int j=19;j>=0;j--){
    
    
                if(a[j]&&(1<<j)<=res){
    
    
                    flag=j;
                    break;
                }
            }
            if(flag==-1){
    
    
                res=w;
                cnt++;
                for(int j=19;j>=0;j--){
    
    
                    if(a[j]&&(1<<j)<=res){
    
    
                        flag=j;
                        break;
                    }
                }
            }
            a[flag]--;
            res-=(1<<flag);
        }
        cout<<cnt<<endl;
    }
}