PAT Advanced1103 Integer Factorization（DFS）

链接：PAT Advanced1103

The K−P factorization of a positive integer N is to write N as the sum of the P-th power of K positive integers. You are supposed to write a program to find the K−P factorization of N for any positive integers N, K and P.

Input Specification:

Each input file contains one test case which gives in a line the three positive integers N (≤400), K (≤N) and P (1<P≤7). The numbers in a line are separated by a space.

Output Specification:

For each case, if the solution exists, output in the format:

N = n[1]^P + … n[K]^P

where n[i] (i = 1, …, K) is the i-th factor. All the factors must be printed in non-increasing order.

Note: the solution may not be unique. For example, the 5-2 factorization of 169 has 9 solutions, such as 12² +4² +2² +2² +1² , or 11² +6² +2² +2² +2² , or more. You must output the one with the maximum sum of the factors. If there is a tie, the largest factor sequence must be chosen – sequence { a₁ ,a₂ ,⋯,a_K } is said to be larger than { b₁ ,b₂ ,⋯,b_K } if there exists 1≤L≤K such that a_i =b_i for i<L and a_L >b_L.

If there is no solution, simple output Impossible.

Sample Input 1:

169 5 2

Sample Output 1:

169 = 6^2 + 6^2 + 6^2 + 6^2 + 5^2

Sample Input 2:

169 167 3

Sample Output 2:

Impossible

题意：
给定正整数N、K、P,将N表示成K个正整数（可以相同，递减排列）的P次方的和，即N = n₁^P + …n_K^P。如果有多种方案，那么选择底数和n_i+…+ n_K最大的方案；如果还有多种方案，那么选择底数序列的字典序最大的方案。

思路：
①利用DFS进行枚举，K个正整数范围均在 1~ $\sqrt[P]{N}$ 之间，每次都枚举 $\sqrt[P]{N}$ 个必定会超时。

②首先初步剪枝，DFS每次记录N还剩余多少，当N<=0或者已选全满K个正整数时return; 。

③因为只需要选择出其中一种方案，那就会存在一些没有必要的枚举。

如样例1：6 6 6 6 5 ，在上述实际枚举过程中，会出现5 6 6 6 6，6 5 6 6 6，6 6 5 6 6，6 6 6 5 6，6 6 6 6 5，出现了4次非必要的枚举。
可以看出，这5种方案要在其中选择底数序列的字典序最大的方案，那么该方案必定是非递增排列，根据这个特点，可以剪去大量非必要枚举。

第1个位置枚举范围为： 1 ~ $\sqrt[P]{N}$ ，当第1个位置选择了a，那么第2个位置的枚举范围为：1 ~ a，以此类推。

④为选择底数序列的字典序最大的方案，每次枚举从大到小枚举。

ps.库函数pow()使用的注意点：Click here

以下代码：

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
vector<int> temp,ans;
int N,K,P,maxsum=0;
int power(int x,int p)         //自行编写power函数
{
	int a=1;
	while(p--)
		a*=x;
	return a;
}
void DFS(int left,int sum)     //left表示还剩多少，sum表示当前底数和
{
	if(left<=0||temp.size()>=K)
	{
		if(left==0&&temp.size()==K&&sum>maxsum)
		{
			ans=temp;
			maxsum=sum;
		}
		return;
	}
	else
	{
		int maxn=temp.empty()?pow(left,1.0/P):temp[temp.size()-1];
		//确定最大枚举范围
		for(int i=maxn;i>=1;i--)   //从大到小枚举
		{
			temp.push_back(i);
			DFS(left-power(i,P),sum+i);
			temp.pop_back();
		}
	}
}
int main()
{
	scanf("%d %d %d",&N,&K,&P);
	DFS(N,0);
	if(ans.empty())
		printf("Impossible");
	else
	{
		printf("%d = %d^%d",N,ans[0],P);
		for(int i=1;i<ans.size();i++)
			printf(" + %d^%d",ans[i],P);
	}	
	return 0;
}

PAT Advanced1103 Integer Factorization（DFS）

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