赫夫曼树的介绍(写的不好地方大佬请指教)
最优二叉树又称哈夫曼树，是带权路径最短的二叉树。根据节点的个数，权值的不同，最优二叉树的形状也不同。
图 6-34 是 3 棵最优二叉树的例子，它们共同的特点是带权节点都是叶子节点，权值越小，就离根节点也远，那么我们是如何构建这颗最优二叉树
步骤如下：
那如何创建这一个哈夫曼树呢？(百度百科)
假设有n个权值，则构造出的哈夫曼树有n个叶子结点。 n个权值分别设为 w1、w2、…、wn，则哈夫曼树的构造规则为：
(1) 将w1、w2、…，wn看成是有n 棵树的森林(每棵树仅有一个结点)；
(2) 在森林中选出两个根结点的权值最小的树合并，作为一棵新树的左、右子树，且新树的根结点权值为其左、右子树根结点权值之和；
(3)从森林中删除选取的两棵树，并将新树加入森林；
(4)重复(2)、(3)步，直到森林中只剩一棵树为止，该树即为所求得的哈夫曼树。
如：对 下图中的六个带权叶子结点来构造一棵哈夫曼树，步骤如下：
当建立好哈夫曼树，我们要将其进行编码，要将权值表示改为0,1表示，叶子节点的左边改为0，右边改为1
这样子比较方便在网络上传输，因为哈夫曼树的研究目的就是为了解决早期远距离通信(电报)的数据传输的优化问题。
接下来我们来分析一下，这样做对数据的优化体现在哪里？
例如，如上图。6-12-9，
假如们要传输一端报文：BADCADFEED,那么我们可以用相应的二进制表示
| 字母 | a | b | c | d | e | f |
| 二进制字符 | 000 | 001 | 010 | 011 | 100 | 101 |
这样真正的传输的数据编码二进制后就是：001000011010000011101100100011（共30个字符），可见如果传输数据过大，这个报文的编码也就越大了。
但是如果我们按照上面的哈夫曼树进行编码的话
| 字母 | a | b | c | d | e | f |
| 二进制字符 | 01 | 1001 | 101 | 00 | 11 | 1000 |
新编码后的数据是：1001010010101001000111100(共25个字符)
大约节约了17%的存储或传输文本，随着字符的增加和多字符权重的不同，这种压缩会更加突显出来优势。
0和1是比较容易混淆的，为了设计出来长度不相等的编码，我们就必须有一种规定，就是任一字符的编码都不是另一个字符的编码的前缀，这种编码被称为前缀编码。
我们可以发现通过哈夫曼编码形成的每个节点的编码例如：1000,1000混淆的10,100的类似的编码了。
当接收者收到了这个已经经过编码的二进制数后，我们要如何进行解码，才能看到发送者真正想发给接收者的消息呢？
解码的时候，必须用到双方约定好的哈夫曼树：
从根节点开始遍历，就可以知道A是01，E是11,B是 1001 ，其余的节点信息也可以相应的得到，从而成功解码。
哈夫曼树的节点存储结构
1 //哈夫曼树结构
2 ; typedef struct{
3 unsigned int weight; //权重
4 unsigned int parent, lchild, rchild; //树的双亲节点，和左右孩子
5
6 }HTNode, *HuffmanTree;
7
8 typedef char** HuffmanCode;
基本思路就是：
1、首先我们要建立一个哈夫曼树。
2、这个哈夫曼树有的特点在上面有介绍。
3、对哈夫曼树进行0,1编码
4，最后打印出已经编码完成的哈夫曼树。
里面最难的两部步应该是建树，解码输出(可能我比较笨把，搞了二天才搞明白)
1、建树，根据节点的权重建立，每次从的序列中比较出两个最小的权重，建立出一颗树，然后再从剩余的节点中继续抽取节点权重最小的节点，继续建树，这边我采用的是迭代方式；
2、解码输出，采用的是叶子节点逆序遍历到根节点，将0,1存储到字符数组里面，然后再将数组输出。
里面是具体实现的代码，里面也有注释
1 //函数声明
2 int Min(HuffmanTree T, int i); //求i个节点中的最小权重的序列号，并返回
3 void Select(HuffmanTree T, int i, int& s1, int& s2); //从两个最小权重中选取最小的(左边)给s1，右边的给s2
4 void HuffmanCoding(HuffmanTree &HT, HuffmanCode&HC, int* w, int n);//哈夫曼编码与解码
函数的具体实现：
1 //返回i个节点中权值最小的树的根节点的序号，供select()调用
2 int Min(HuffmanTree T, int i){
3 int j, flag;
4 unsigned int k = UINT_MAX; //%d-->UINT_MAX = -1,%u--->非常大的数
5 for (j = 1; j <= i; j++)
6 if (T[j].weight < k && T[j].parent == 0)
7 k = T[j].weight, flag = j; //
8 T[flag].parent = 1; //将parent标志为1避免二次查找
9
10 return flag; //返回
11 }
12
13 void Select(HuffmanTree T, int i,int& s1,int& s2){
14 //在i个节点中选取2个权值最小的树的根节点序号，s1为序号较小的那个
15 int j;
16 s1 = Min(T,i);
17 s2 = Min(T,i);
18 if (s1 > s2){
19 j = s1;
20 s1 = s2;
21 s2 = j;
22 }
23 }
24
25 //HuffmanCode代表的树解码二进制值
26 void HuffmanCoding(HuffmanTree &HT, HuffmanCode&HC, int* w, int n){
27 //w存放n个字符的权值(均>0),构造哈夫曼树HT,并求出n个字符的哈夫曼编码HC
28 int m, i, s1, s2, start;
29 unsigned c, f;
30 char* cd;
31 //分配存储空间
32 HuffmanTree p;
33 if (n <=1)
34 return;
35 //n个字符(叶子节点)有2n-1个树节点，所以树节点m
36 m = 2 * n - 1;
37 HT = (HuffmanTree)malloc((m + 1)*sizeof(HTNode)); //0号元素未用
38 //这一步是给哈夫曼树的叶子节点初始化
39 for (p = HT + 1, i = 1; i <= n; ++i, ++p,++w)
40 {
41 (*p).weight = *w;
42 (*p).lchild = 0;
43 (*p).rchild = 0;
44 (*p).parent = 0;
45 }
46 //这一步是给哈夫曼树的非叶子节点初始化
47 for (; i <= m; ++i, ++p){
48 (*p).parent = 0;
49 }
50 /************************************************************************/
51 /* 做完准备工作后 ，开始建立哈夫曼树
52 /************************************************************************/
53 for (i = n + 1; i <= m; i++)
54 {
55 //在HT[1~i-1]中选择parent=0且weigh最小的节点，其序号分别为s1,s2
56 Select(HT, i - 1, s1, s2); //传引用
57 HT[s1].parent = HT[s2].parent= i;
58 HT[i].lchild = s1;
59 HT[i].rchild = s2;
60 HT[i].weight = HT[s1].weight + HT[s2].weight;
61 }
62 /************************************************************************/
63 /* 从叶子到根逆求每个叶子节点的哈夫曼编码 */
64 /************************************************************************/
65 //分配n个字符编码的头指针向量，（[0]不用）
66 HC = (HuffmanCode)malloc((n + 1)*sizeof(char*));
67 cd = (char*)malloc(n*sizeof(char)); //分配求编码的工作空间
68 cd[n - 1] = '\0'; //结束符
69 for (i = 1; i <= n; i++) //每个节点的遍历
70 {
71 start = n - 1;
72 for (c = i, f = HT[i].parent; f != 0; c = f,f = HT[f].parent){ //每个节点到根节点的遍历
73 //从叶子节点到根节点的逆序编码
74 if (HT[f].lchild == c)
75 cd[--start] = '0';
76 else
77 cd[--start] = '1';
78 }
79 HC[i] = (char*)malloc((n - start)*sizeof(char)); //生成一个块内存存储字符
80 //为第i个字符编码分配空间
81 strcpy(HC[i], &cd[start]); //从cd赋值字符串到cd
82 }
83 free(cd); //释放资源
84 }
这里面有一个地方钻牛角尖了，卡了一段时间，那就是我们输入的权重是存储在w这块内存里面的，并通过权重建立起来的树，于是HT内存存储的第一个节点也就是我们输入权重所对应的第一个节点。于是我们开始逆序输出解码时，所对应的每个节点的解码与权重所对应的一一对应。
主函数具体实现：
1 int main(){
2
3 HuffmanTree HT;
4 HuffmanCode HC;
5
6 int *w, n, i;
7 printf("请输入权值的个数(>1):");
8 scanf_s("%d",&n);
9
10 w = (int*)malloc(n*sizeof(int));
11 printf("请依次输入%d个权值(整形):\n",n);
12
13 for (i = 0; i <= n - 1;i++)
14 {
15 scanf_s("%d",w+i);
16 }
17 HuffmanCoding(HT, HC, w, n);
18
19 for (i = 1; i <= n;i++)
20 {
21 puts(HC[i]);
22 }
23 return 0;
24 }
全部代码实现
1 #include<string.h> 2 #include<malloc.h> //malloc()等 3 #include<stdio.h> 4 #include<stdlib.h> 5 #include<ctype.h> 6 #include<limits.h> 7 #include<iostream> 8 9 #define TRUE 1 10 #define FALSE 1 11 #define OK 1 12 #define ERROR 1 13 #define INFEASIBLE -1 14 15 typedef int Status; 16 typedef int Boolean； 17 /************************************************************************/ 18 /* 最优二叉树简称：哈夫曼树 */ 19 /************************************************************************/ 20 //哈夫曼树结构 21 ; typedef struct{ 22 unsigned int weight; //权重 23 unsigned int parent, lchild, rchild; //树的双亲节点，和左右孩子 24 25 }HTNode, *HuffmanTree; 26 27 typedef char** HuffmanCode; 28 29 30 //返回i个节点中权值最小的树的根节点的序号，供select()调用 31 int Min(HuffmanTree T, int i){ 32 int j, flag; 33 unsigned int k = UINT_MAX; //%d-->UINT_MAX = -1,%u--->非常大的数 34 for (j = 1; j <= i; j++) 35 if (T[j].weight < k && T[j].parent == 0) 36 k = T[j].weight, flag = j; // 37 T[flag].parent = 1; //将parent标志为1避免二次查找 38 39 return flag; //返回 40 } 41 42 void Select(HuffmanTree T, int i,int& s1,int& s2){ 43 //在i个节点中选取2个权值最小的树的根节点序号，s1为序号较小的那个 44 int j; 45 s1 = Min(T,i); 46 s2 = Min(T,i); 47 if (s1 > s2){ 48 j = s1; 49 s1 = s2; 50 s2 = j; 51 } 52 } 53 54 //HuffmanCode代表的树解码二进制值 55 void HuffmanCoding(HuffmanTree &HT, HuffmanCode&HC, int* w, int n){ 56 //w存放n个字符的权值(均>0),构造哈夫曼树HT,并求出n个字符的哈夫曼编码HC 57 int m, i, s1, s2, start; 58 unsigned c, f; 59 char* cd; 60 //分配存储空间 61 HuffmanTree p; 62 if (n <=1) 63 return; 64 //n个字符(叶子节点)有2n-1个树节点，所以树节点m 65 m = 2 * n - 1; 66 HT = (HuffmanTree)malloc((m + 1)*sizeof(HTNode)); //0号元素未用 67 //这一步是给哈夫曼树的叶子节点初始化 68 for (p = HT + 1, i = 1; i <= n; ++i, ++p,++w) 69 { 70 (*p).weight = *w; 71 (*p).lchild = 0; 72 (*p).rchild = 0; 73 (*p).parent = 0; 74 } 75 //这一步是给哈夫曼树的非叶子节点初始化 76 for (; i <= m; ++i, ++p){ 77 (*p).parent = 0; 78 } 79 /************************************************************************/ 80 /* 做完准备工作后 ，开始建立哈夫曼树 81 /************************************************************************/ 82 for (i = n + 1; i <= m; i++) 83 { 84 //在HT[1~i-1]中选择parent=0且weigh最小的节点，其序号分别为s1,s2 85 Select(HT, i - 1, s1, s2); //传引用 86 HT[s1].parent = HT[s2].parent= i; 87 HT[i].lchild = s1; 88 HT[i].rchild = s2; 89 HT[i].weight = HT[s1].weight + HT[s2].weight; 90 } 91 /************************************************************************/ 92 /* 从叶子到根逆求每个叶子节点的哈夫曼编码 */ 93 /************************************************************************/ 94 //分配n个字符编码的头指针向量，（[0]不用） 95 HC = (HuffmanCode)malloc((n + 1)*sizeof(char*)); 96 cd = (char*)malloc(n*sizeof(char)); //分配求编码的工作空间 97 cd[n - 1] = '\0'; //结束符 98 for (i = 1; i <= n; i++) //每个节点的遍历 99 { 100 start = n - 1; 101 for (c = i, f = HT[i].parent; f != 0; c = f,f = HT[f].parent){ //每个节点到根节点的遍历 102 //从叶子节点到根节点的逆序编码 103 if (HT[f].lchild == c) 104 cd[--start] = '0'; 105 else 106 cd[--start] = '1'; 107 } 108 HC[i] = (char*)malloc((n - start)*sizeof(char)); //生成一个块内存存储字符 109 //为第i个字符编码分配空间 110 strcpy(HC[i], &cd[start]); //从cd赋值字符串到cd 111 } 112 free(cd); //释放资源 113 } 114 115 //函数声明 116 int Min(HuffmanTree T, int i); //求i个节点中的最小权重的序列号，并返回 117 void Select(HuffmanTree T, int i, int& s1, int& s2); //从两个最小权重中选取最小的(左边)给s1，右边的给s2 118 void HuffmanCoding(HuffmanTree &HT, HuffmanCode&HC, int* w, int n);//哈夫曼编码与解码 119 120 int main(){ 121 122 HuffmanTree HT; 123 HuffmanCode HC; 124 125 int *w, n, i; 126 printf("请输入权值的个数(>1):"); 127 scanf_s("%d",&n); 128 129 w = (int*)malloc(n*sizeof(int)); 130 printf("请依次输入%d个权值(整形):\n",n); 131 132 for (i = 0; i <= n - 1;i++) 133 { 134 scanf_s("%d",w+i); 135 } 136 HuffmanCoding(HT, HC, w, n); 137 138 for (i = 1; i <= n;i++) 139 { 140 puts(HC[i]); 141 } 142 return 0; 143 }
参考资料：
《大话数据结构》
《数据结构》算法实现与解析 高一凡著
《数据结构》严奶奶