股票买卖 题解

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题目来源：http://bailian.openjudge.cn/practice/4121/

解题思路

• 假设股票数组为prices
• 假设F[k][i]表示到第i天总共买卖k次时的最大利润，可以将其分为两种情况，即第i天发生了买卖和未发生买卖。
• 假如第i天没有买卖股票，那么F[k][i] = F[k][i-1]
• 假如第i天参与股票买卖，那么F[k][i] = max{prices[i] - prices[t]+F[k-1][t]},为什么是这个推导公式，因为假如F[k][i]的最优解是，第x天是k-1次的卖出，随后的第y天又买入，第i天卖出，于是F[k][i] = F[k-1][x]+prices[i]- prices[y](x<= y <=i),此时必然有F[k-1][x] =F[k-1][y],证明如下：
  • 很显然，F[k-1][y]>=F[k-1][x],假设F[k-1][y]>F[k-1][x],此时必然有F[k-1][y]+prices[i]-prices[y]>F[k][i] = F[k-1][x]+prices[i]- prices[y],这与最优解矛盾，因此必然有F[k-1][x] =F[k-1][y]，因此F[k][i]的推导公式可以写成max{prices[i] - prices[t]+F[k-1][t]}。
• 对上述进行优化，max{prices[i] - prices[i] - prices[t]+F[k-1][t]} = prices[i] +max{F[k-1][t]-prices[t]}; (0<=t<=i-1), 对于确定的i和k，每次求max{F[k-1][t]-prices[t]}都需要对t从1到i进行遍历，于是可以在循环中，求解时用一个临时变量tmp记录max{F[k-1][t]-prices[t]},t属于[0,i-1]，每次i增量时比较tmp和F[k-1][i]-prices[i]和tmp的较大值赋给tmp,再进行求解。

AC代码

代码中nums即为解题思路中的prices

#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <climits>
#include <string>
#include <algorithm>

using namespace std;
typedef vector<int> VI;
typedef vector<VI> VVI;
typedef const int CI;

int solution(const VI& nums, CI K) {
	VVI F(K + 1, VI(nums.size(), 0));
	for (int k = 1; k <= K; ++k) {
		int tmp = F[k - 1][0] - nums[0];
		for (int i = 1; i < nums.size(); ++i) {
			tmp = max(F[k-1][i] - nums[i], tmp);
			F[k][i] = max(F[k][i - 1], nums[i] + tmp);
		}
	}
	return F[K][nums.size() - 1];
}

int main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	int castCount; cin >> castCount;
	while (castCount--) {
		int N;
		cin >> N;
		VI nums(N, 0);
		for (auto&e : nums)
			cin >> e;
		int ans = solution(nums,2);
		cout << ans << endl;
	}
	return 0;
}