LU分解的实现

               

LU分解是将矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积。矩阵可以不是NxN的矩阵

一个可逆矩阵可以进行LU分解当且仅当它的所有子式都非零。如果要求其中的L矩阵(或U矩阵)为单位三角矩阵,那么分解是唯一的。同理可知,矩阵的LDU可分解条件也相同,并且总是唯一的。
即使矩阵不可逆,LU仍然可能存在。实际上,如果一个秩为k的矩阵的前k个顺序主子式不为零,那么它就可以进行LU分解,但反之则不然。
目前,在任意域上一个方块矩阵可进行LU分解的充要条件已经被发现,这些充要条件可以用某些特定子矩阵的秩表示。用高斯消元法来得到LU分解的算法也可以扩张到任意域上。
任意矩阵A(不仅仅是方块矩阵)都可以进行LUP分解。其中的L和U矩阵是方阵,P矩阵则与A形状一样。

这里给出高斯消元法的思想

Matrix A (M x N) for(column index i from 1 to N)select max(A[i][i...M]), swap to row i //第i列中从第i行到第N行绝对值最大值元素的行作为第i行 if(A[i][i] is not zero){  for(row index j from i + 1 to M){   A[j][i] /= A[i][i]   for(column index k from i + 1 to N){    A[j][k] -= A[j][i] * A[i][k]   }  } }}


L如下1,  0,  0, ...  ,  0A[21],  10, ... , 0A[31], A[32], 1, ... , 0A[41], A[42], A[43], ..., 0... ...A[m1], A[m2], A[m3], ..., 1

U如下A[11],  A[12],  A[13], ...,  A[1n]0,  A[22], A[23], ..., A[2n]00, A[33], ..., A[3n]000, ... , A[4n]... ...000, ... , A[mn]


下面给出实现,摘自JAMA

// Initialize.      LU = A.getArrayCopy();      m = A.getRowDimension();      n = A.getColumnDimension();      piv = new int[m];      for (int i = 0; i < m; i++) {         piv[i] = i;      }      pivsign = 1;      // Main loop.      for (int k = 0; k < n; k++) {         // Find pivot.         int p = k;         for (int i = k+1; i < m; i++) {            if (Math.abs(LU[i][k]) > Math.abs(LU[p][k])) {               p = i;            }         }         // Exchange if necessary.         if (p != k) {            for (int j = 0; j < n; j++) {               double t = LU[p][j]; LU[p][j] = LU[k][j]; LU[k][j] = t;            }            int t = piv[p]; piv[p] = piv[k]; piv[k] = t;            pivsign = -pivsign;         }         // Compute multipliers and eliminate k-th column.         if (LU[k][k] != 0.0) {            for (int i = k+1; i < m; i++) {               LU[i][k] /= LU[k][k];               for (int j = k+1; j < n; j++) {                  LU[i][j] -= LU[i][k]*LU[k][j];               }            }         }      }

由于Java对点乘支持的问题,上述方法在JAMA中并没有使用,而是使用了Crout/Doolittle算法,描述如下:




根据上述写的代码如下


for(int a = 0; a < length; a++){   for(int b = 0; b < length; b++){    double sum = 0.0;    if(a <= b){     for(int i = 0; i < a; i++){      sum += l[a][i] * u[i][b];     }     u[a][b] = matrix[a][b] - sum;    }else{     for(int i = 0; i < b; i++){      sum += l[a][i] * u[i][b];     }     l[a][b] = (matrix[a][b] - sum) / u[b][b];    }   }  }


           

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