第一章 行列式 第六节 行列式按行(列)展开

§1.6 行列式按行(列)展开

  在 $n$阶行列式中，把 $(i,j)$元 $a_{ij}$所在的第 $i$行和第 $j$列划去后，留下来的 $n-1$阶行列式叫做 $(i,j)$元 $a_{ij}$的余子式。记作 $M_{ij}$；记
$A_{ij}=(-1)_{ij}M_{ij},$
$A_{ij}$叫做 $(i,j)$元 $a_{ij}$的代数余子式。

引理

  一个 $n$阶行列式，如果其中第 $i$行所有元素除 $(i,j)$元 $a_{ij}$外都等于零，那么这个行列式等于 $a_{ij}$与它的代数余子式的乘积，即
$D=a_{ij}A_{ij}.$

定理

  (行列式按行(列)展开法则)行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
$D = a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+ \cdots a_{in}A_{in}\:\: (i = 1,2,\cdots,n),$
或
$D = a_{1i}A_{1i}+a_{2i}A_{2i}+ \cdots a_{ni}A_{ni}\:\: (i = 1,2,\cdots,n).$

推论

  行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即
$D = a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+ \cdots a_{in}A_{jn}\:\: (i\:\: j= 1,2,\cdots,n,\:\: i\neq j),$
或
$D = a_{1i}A_{1j}+a_{2i}A_{2j}+ \cdots a_{ni}A_{nj}\:\: (i\:\:j = 1,2,\cdots,n,\:\:i\neq j).$

性质

  代数余子式的重要性质:
$\sum^{n}_{k=1}{a_{ki}A_{kj}} = D\delta_{ij} = \left\{ \begin{array}{rcl} D,&&当i=j \\ 0,&&当i\neq j \\ \end{array} \right.$
或
$\sum^{n}_{k=1}{a_{ik}A_{jk}} = D\delta_{ij} = \left\{ \begin{array}{rcl} D,&&当i=j \\ 0,&&当i\neq j \\ \end{array} \right.$
其中
$\delta_{ij} = \left\{\begin{array}{rcl} 1,&&当i=j \\ 0,&&当i\neq j \\ \end{array} \right..$

《线性代数》同济大学第五版笔记