微分方程建模实例：对药剂量开处方

对于制药人员而言，决定一种药什么时候吃一次吃多少是一件非常严肃的问题。当体内的药物浓度高于一定值会给人体带来伤害，过低又起不到治病的效果。所以产生了如下问题：

药的剂量和给药间隔应该如何调节,才能保证体内的药物浓度处于一个安全有效的范围内?

对于单次用药在血液中的浓度水平变化，很自然的是随着时间的变化，逐渐减少，最后从体内完全代谢干净。而我们关心的是，在正规的用药间隔内，血液中的药物浓度的变化情况。
对于这个问题，我们事先定义以下变量

$H \to$ 药物的最高安全量级
$L \to$ 药物的最低有效量级
$C_0 \to$ 所开的药物量级

理想的给药浓度和给药时间间隔应该如下图所示：
理想剂量和间隔
每次服药的时候，药物浓度剩余量恰好为 $L$ ，而服用药物之后，药物的剂量又不超过最大值。

假设

为了解决这个问题，我们需要考虑任一 $t$ 时刻决定药物在体内浓度 $C(t)$ 的因素。自然而然的，我们可以列出以下式子

C (t) = f (排 出 率 ， 吸 收 率 ， 剂 量 ， 用 药 间 隔 ， 体 重 ， 年 龄 ， \dots)

$C(t) = f(排出率，吸收率，剂量，用药间隔，体重，年龄，\cdots )$
这个模型当然可以一直的列下去，但是我们没有能力也没有办法去进行求解。所以我们需要将一切尽量的简化。我们将体重，年龄等这些因素设为一个常数。而浓度是决定药物效果的关键因素，吸收率和排出率决定了浓度的变化情况，所以我们接下来就对其进行探索。

排出率子模型

临床显示，血液中药物浓度的减少与浓度是成一定比例的，用数学语言来描述则是，药物浓度的减少与浓度是成一定比例的。即，如果我们假设血液中药物在 $t$ 时刻的浓度是一个可微函数 $C(t)$ ，则有

C' (t) = - k C (t)

$C^{'}(t) = -kC(t)$
这里的

k $k$ 是一个常数，代表着药物的 排出常数。注意到

C′(t) $C^{'}(t)$ 是负的，因为它用来描述浓度是否在减少。
方程中的各种量的单位如下

时刻 $t$ 以小时（ $hr$ ）为单位
$C(t)$ 以每毫升血液多少毫克 $(mg/ml)$ 为单位
$C^{'}(t)$ 则为 $mg ml^{-1}hr^{-1}$
$k$ 为 $hr^{-1}$

对于一个给定的群体， $H和L$ 分别可以靠实验确定，于是令每次的给药的药物浓度为

C 0 = H - L

$C_0 = H- L$
若我们假设

C0 $C_0$ 是

t=0 $t = 0$ 时刻的浓度，则我们能够得到下列模型

d C d t = - k C ， C (0) = C 0

$\frac {dC}{dt} = -kC，C(0) = C_0$
我们对该模型进行积分求解，可以得到

C (t) = C 0 e - k t

$C(t) = C_0e^{-kt}$
将 初始浓度 $C_0$ 乘以

e−kt $e^{-kt}$ ，就能够得到

t>0 $t > 0$ 时刻的浓度变化。该曲线如下图所示
初始浓度变化

吸收率子模型

在探索完排出率子模型后，我们来对吸收率子模型进行建模。为了方便起见，我们认为，用药之后，药物浓度在体内能够迅速扩散，反应到数学上，即，服药之后，药物浓度的变化为一条竖直上升的直线。
我们假设 $t= 0$ 的时刻进行了第一次用药，根据排出率子模型，我们可以知道，再下一次服药时刻，即，时间 $T$ 之后，血液中的药物浓度剩余量为 $R_1 = C_0e^{-kT}$ ，然后进行第二次用药，这时候的药物浓度瞬间跃升为 $C_1 = C_0 + C_0e^{-kT}$ 。在第三次用药的时候，血液中的药物剩余浓度为 $R_2 = C_1e^{-kT} = C_0 + C_0e^{-2kT}$ 。
药物在血液中的积累方式如下图所示：
药物积累方式
现在，我们来确定第 $n$ 次的剩余量 $R_n$ 的公式。若令 $C_{i-1}$ 为第 $i$ 次间隔开始时的药物浓度， $R_i$ 为该次结束时的剩余浓度。我们可以得到下表
剩余浓度计算表
由表我们可以得到下式

R n = C 0 e - k T + C 0 e - 2 k T + \dots + C 0 e - n k T = C 0 e - k T (1 + r + r 2 + \dots + r n) = C 0 e - k T ( 1 - C 0 e - n k T ) 1 - C 0 e - k T

$R_n = C_0e^{-kT} + C_0e^{-2kT} + \cdots +C_0e^{-nkT} \\ =C_0e^{-kT}(1 + r + r^2 + \cdots + r^n)\hspace{1em}\\ = \frac {C_0e^{-kT}(1-C_0e^{-nkT})}{1-C_0e^{-kT}}\hspace{4em}$
其中

r=e−kT $r = e^{-kT}$ ，注意到当

n $n$ 很大的时候，

C0e−nkT $C_0e^{-nkT}$ 会非常接近于零。于是该序列有极限值

R $R$

R = lim n \to \infty R n = C 0 e - k T 1 - e - k T

$R = \lim _{n \to \infty}R_n = \frac {C_0e^{-kT}}{1-e^{-kT}}$
或

R = C 0 e k T - 1

$R=\frac {C_0}{e^{kT} - 1}$
所以，如果我们每

T $T$ 小时用一次药物，能够使得浓度上升到

C0mg/ml $C_0mg/ml$ ，则剩余浓度的极限值有上式可以得到。公式中的

k $k$ 是排出率模型中定义的 排出常数。

确定用药时间

从剩余药物浓度计算表中我们能够知道第 $n$ 次间隔开始时的浓度 $C_{n-1}$ 为

C n - 1 = C 0 + R n - 1

$C_{n-1} = C_0 + R_{n-1}$
如果期望药物的浓度接近于最高浓度

H $H$ ，则我们希望当

n $n$ 很大时，

Cn−1 $C_{n-1}$ 接近于

H $H$ ，这就是说：

H = lim n \to \infty C n - 1 = lim n \to \infty (C 0 + R n - 1) = C 0 + R

$H = \lim_{n \to \infty}C_{n-1} = \lim_{n \to \infty}(C_0 + R_{n-1}) = C_0 + R$
由上式和

C0=H−L $C_0 = H - L$ ，我们可以得到

R=L $R = L$ 。
为了检验不同的用药时间间隔

T $T$ 对剩余浓度

R $R$ 的影响，我们可以构造一个无量纲比例，即，将

R $R$ 与每次药剂浓度的变化量

C0 $C_0$ 进行比较：

R C 0 = 1 e - k T - 1

$\frac RC_0 = \frac 1{e^{-kT} -1}$
我们知道，每次的

Rn $R_n$ 都是由上一次的

Rn−1 $R_{n-1}$ 加上

C0e−nkT $C_0e^{-nkT}$ 得到的。所以

Rn $R_n$ 总是越来越大的。即：

0 < R n < R

$0 < R_n < R$
所以有了两种情况。

用药间隔 $T$ 足够大
当用药间隔 $T$ 足够大的时候，比值 $R/C_0$ 会接近于0，这就说明每次的用药剩余浓度几乎为零。于是，每次用药都是独立的，那么对于体内的药物浓度曲线将如下图。
用药间隔 $T$ 很短
当用药间隔 $T$ 很短，恰好使得 $e^{kT}$ 稍大于1，这就使得 $R/C_0$ 远大于1。因为 $R_n$ 越大，每次用药后的浓度 $C_n$ 也就越大，这时的排出率也会越大。当一定的间隔之后，每次用药的浓度排除量会接近于每次得到的浓度 $C_0$ 的增加。这时候开始，体内的药物浓度会在间隔结束时的 $R$ 和开始时的 $R+C_0$ 之间摆动。药物的浓度曲线会如下图所示：

结论

当药物浓度恰好处于 $H和L$ 之间时是最为安全有效的，为了让病人能够方便，我们需要尽可能的延长用药间隔。由我们之前得到的几个式子，即：

R = C 0 e k T - 1 R = L C 0 = H - L

$R=\frac {C_0}{e^{kT} - 1}\\ R=L\\ C_0=H-L\\$
我们可以得到

e k T = H / L

$e^{kT} = H/L$
对上式的两边取对数再除以

k $k$ ，可以得到期望的用药间隔

T = 1 k ln H L

$T = \frac 1k \ln \frac HL$
所以我们能够得到最后的结论。
再第一次给药时，应该使得药物浓度能够得到

H $H$ ，之后按照每次用药间隔

T=1klnHL $T = \frac 1k \ln \frac HL$ ，将浓度提高

C0=H−L $C_0=H-L$ 进行治疗。