1.简介：
一维Otsu算法有计算简洁、稳定、自适应强等优点，被广泛用于图像分割中。但一维Otsu算法没有考虑图像像素点之间的关系，当图像中有噪声时，会导致分割的效果不理想。因此，刘健庄等人在1993年提出了二维的Otsu算法，提升了算法的抗噪声能力。
2.算法思想：
同时考虑像素的灰度值分布和它们邻域像素的平均灰度值分布，因此形成的阈值是一个二维矢量，最佳的阈值在一个二维的测度准则下确定最大值时得到。
3.算法过程：
（1）设图像I(x,y),的灰度级为L级，那么图像的邻域平均灰度也分为L级。
（2）设f(x,y)为像素点(x,y)的灰度值，g(x,y)为像素点(x,y)为中心的K*K的像
素点集合的灰度平均值。令f(x,y)=i,g(x,y)=j，然后就形成了一个二元组(i,j)。
（3）设二元组（i,j）出现的次数为fij，然后求出二元组对应的概率密度Pij，
Pij=fij/N, i,j=1,2，…，L，其中N为图像像素点总数。
（4）任意选取一个阈值向量(s,t)选取的阈值向量将图像的二维直方图划分成4个
区域，B、C区域代表图像的前景和背景，A、D区域代表噪声点。
（5）设C、B两个区域对应的概率分别为w1，w2，对应的均值矢量为u1，u2。整个图
片所对应的均值矢量为uT。
4.代码实现（opencv3）：
#include "opencv.hpp"
#include "imgproc.hpp"
#include "highgui.hpp"
#include "iostream"
#include "core.hpp"
using namespace cv;
using namespace std;
int Otsu2D(Mat srcimage); //二维Otsu算法
int main()
{
Mat srcimage, grayimage, dstimage;
srcimage = imread("lena.jpg");
namedWindow("原图", 0);
imshow("原图", srcimage); //显示原图
cvtColor(srcimage, grayimage, COLOR_RGB2GRAY); //得到灰度图
double time0 = static_cast<double>(getTickCount()); //记录程序开始时间
int thresholdValue = Otsu2D(grayimage); //调用二维Otsu函数
time0 = ((double)getTickCount() - time0) / getTickFrequency();
cout << "算法运行时间为：" << time0 << endl;
cout << "Otsu阈值为：" << thresholdValue << endl;
threshold(grayimage, dstimage, thresholdValue, 255, THRESH_BINARY); //将得到的阈值传入函数，得到分割效果图
namedWindow("Otsu算法结果", 0);
imshow("Otsu算法结果", dstimage);
waitKey();
return 0;
}
int Otsu2D(Mat srcimage)
{
double Histogram[256][256]; //建立二维灰度直方图
double TrMax = 0.0; //用于存储矩阵的迹（矩阵对角线之和）
int height = srcimage.rows; //矩阵的行数
int width = srcimage.cols; //矩阵的列数
int N = height*width; //像素的总数
int T; //最终阈值
uchar *data = srcimage.data;
for (int i = 0; i < 256; i++)
{
for (int j = 0; j < 256; j++)
{
Histogram[i][j] = 0; //初始化变量
}
}
for (int i = 0; i < height; i++)
{
for (int j = 0; j < width; j++)
{
int Data1 = data[i*srcimage.step + j]; //获取当前灰度值
int Data2 = 0; //用于存放灰度的平均值
for (int m = i - 1; m <= i + 1; m++)
{
for (int n = j - 1; n <= j + 1; n++)
{
if ((m >= 0) && (m < height) && (n >= 0) && (n < width))
Data2 += data[m*srcimage.step + n];//邻域灰度值总和
}
}
Data2 = Data2 / 9;
Histogram[Data1][Data2]++; //记录（i,j）的数量
}
}
for (int i = 0; i < 256; i++)
for (int j = 0; j < 256; j++)
Histogram[i][j] /= N; //归一化的每一个二元组的概率分布
double Fgi = 0.0; //前景区域均值向量i分量
double Fgj = 0.0; //前景区域均值向量j分量
double Bgi = 0.0; //背景区域均值向量i分量
double Bgj = 0.0; //背景区域均值向量j分量
double Pai = 0.0; //全局均值向量i分量 panorama(全景)
double Paj = 0.0; //全局均值向量j分量
double w0 = 0.0; //前景区域联合概率密度
double w1 = 0.0; //背景区域联合概率密度
double num1 = 0.0; //遍历过程中前景区i分量的值
double num2 = 0.0; //遍历过程中前景区j分量的值
double num3 = 0.0; //遍历过程中背景区i分量的值
double num4 = 0.0; //遍历过程中背景区j分量的值
int Threshold_s = 0; //阈值s
int Threshold_t = 0; //阈值t
double temp = 0.0; //存储矩阵迹的最大值
for(int i=0;i<256;i++)
{
for (int j = 0; j < 256; j++)
{
Pai += i*Histogram[i][j]; //全局均值向量i分量计算
Paj += j*Histogram[i][j]; //全局均值向量j分量计算
}
}
for (int i = 0; i < 256; i++)
{
for (int j = 0; j < 256; j++)
{
w0 += Histogram[i][j]; //前景的概率
num1 += i*Histogram[i][j]; //遍历过程中前景区i分量的值
num2 += j*Histogram[i][j]; //遍历过程中前景区j分量的值
w1 = 1 - w0; //背景的概率
num3 = Pai - num1; //遍历过程中背景区i分量的值
num4 = Paj - num2; //遍历过程中背景区j分量的值
Fgi = num1 / w0;
Fgj = num2 / w1;
Bgi = num3 / w0;
Bgj = num4 / w1;
TrMax = ((w0*Pai - num1)*(w0*Pai - num1) + (w0*Paj - num2)*(w0*Paj - num2)) / (w0*w1);
if (TrMax > temp)
{
temp = TrMax;
Threshold_s = i;
Threshold_t = j;
}
}
}
cout << Threshold_s << " " << Threshold_t << endl;
T = Threshold_s;
return T;
}
5.运行结果（得到2个阈值，取其中一个即可）：
6.修改后的代码
int Otsu2D(Mat srcimage)
{
double Histogram[256][256]; //建立二维灰度直方图
double TrMax = 0.0; //用于存储矩阵的迹（矩阵对角线之和）
int height = srcimage.rows; //矩阵的行数
int width = srcimage.cols; //矩阵的列数
int N = height*width; //像素的总数
int T; //最终阈值
uchar *data = srcimage.data;
for (int i = 0; i < 256; i++)
{
for (int j = 0; j < 256; j++)
{
Histogram[i][j] = 0; //初始化变量
}
}
for (int i = 0; i < height; i++)
{
for (int j = 0; j < width; j++)
{
int Data1 = data[i*srcimage.step + j]; //获取当前灰度值
int Data2 = 0; //用于存放灰度的平均值
for (int m = i - 1; m <= i + 1; m++)
{
for (int n = j - 1; n <= j + 1; n++)
{
if ((m >= 0) && (m < height) && (n >= 0) && (n < width))
Data2 += data[m*srcimage.step + n];//邻域灰度值总和
}
}
Data2 = Data2 / 9;
Histogram[Data1][Data2]++; //记录（i,j）的数量
}
}
for (int i = 0; i < 256; i++)
{
for (int j = 0; j < 256; j++)
{
Histogram[i][j] /= N; //归一化的每一个二元组的概率分布
}
}
double S[256]; //统计前i行概率的数组
double N1[256]; //统计遍历过程中前景区i分量的值
double N2[256]; //统计遍历过程中前景区j分量的值
S[0] = 0;
N1[0] = 0;
N2[0] = 0;
for (int i = 1; i < 256; i++)
{
double x = 0,n1=0,n2=0;
for (int j = 0; j < 256; j++)
{
x += Histogram[i - 1][j];
n1 += ((i-1)*Histogram[i - 1][j]); //遍历过程中前景区i分量的值
n2 += (j*Histogram[i - 1][j]); //遍历过程中前景区j分量的值
}
S[i] = x + S[i - 1];
N1[i] = n1 + N1[i - 1];
N2[i] = n2 + N2[i - 1];
}
double Pai = 0.0; //全局均值向量i分量 panorama(全景)
double Paj = 0.0; //全局均值向量j分量
int Threshold_s = 0; //阈值s
int Threshold_t = 0; //阈值t
int M = 0; //中间变量
double temp = 0.0; //存储矩阵迹的最大值
double num3 = 0.0; //遍历过程中背景区i分量的值
double num4 = 0.0; //遍历过程中背景区j分量的值
double Fgi = 0.0; //前景区域均值向量i分量
double Fgj = 0.0; //前景区域均值向量j分量
double Bgi = 0.0; //背景区域均值向量i分量
double Bgj = 0.0; //背景区域均值向量j分量
for(int i=0;i<256;i++)
{
for (int j = 0; j < 256; j++)
{
Pai += i*Histogram[i][j]; //全局均值向量i分量计算
Paj += j*Histogram[i][j]; //全局均值向量j分量计算
}
}
for (int i = 0; i < 256; i++)
{
double w0 = 0.0; //前景区域联合概率密度
double w1 = 0.0; //背景区域联合概率密度
double num1 = 0.0; //遍历过程中前景区i分量的值 与w0一样做相关处理
double num2 = 0.0; //遍历过程中前景区j分量的值
if (i >= 1)
{
w0 += S[i - 1];
num1 += N1[i - 1];
num2 += N2[i - 1];
}
for (int j = 0; j < 256; j++)
{
w0 += Histogram[i][j]; //前景的概率
num1 += i*Histogram[i][j]; //遍历过程中前景区i分量的值
num2 += j*Histogram[i][j]; //遍历过程中前景区j分量的值
w1 = 1 - w0; //背景的概率
num3 = Pai - num1; //遍历过程中背景区i分量的值
num4 = Paj - num2; //遍历过程中背景区j分量的值
}
Fgi = num1 / w0;
Fgj = num2 / w1;
Bgi = num3 / w0;
Bgj = num4 / w1;
TrMax = ((w0*Pai - num1)*(w0*Pai - num1) + (w0*Paj - num2)*(w0*Paj - num2)) / (w0*w1);
if (TrMax > temp)
{
temp = TrMax;
Threshold_s = i;
}
}
cout << Threshold_s <<endl;
T = Threshold_s;
return T;
}