《算法图解》学习笔记（一）：二分查找（附代码）

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python学习之路 - 从入门到精通到大师

算法是一组完成任务的指令。任何代码片段都可视为算法，

一、二分查找

• 假设要在电话簿中找一个名字以K打头的人，可以从头开始翻页，直到进入以K打头的部分。但你很可能不这样做，而是从中间开始，因为你知道以K打头的名字在电话簿中间。

• 假设要在字典中找一个以O打头的单词，你可以从头A开始寻找到O字母，但是你应该不会这样做，因为你知道O在什么位置——中下，所以你将从中间附近开始。

• 假设你登录Facebook。当你这样做时，Facebook必须核实你是否有其网站的账户，因此必须在其数据库中查找你的用户名。如果你的用户名为karlmageddon，Facebook可从以A打头的部分开始查找，但更合乎逻辑的做法是从中间开始查找。

这三种情况都是在寻找自己的目标，可以统称为查找问题。在前述所有情况下，都可使用同一种算法来解决问题，这种算法就是 二分查找。

二分查找是一种算法，其输入是一个 有序的 元素列表（必须有序的原因稍后解释）。如果要查找的元素包含在列表中，二分查找返回其位置；否则返回null。

举一个例子，我们使用二分查找在电话簿中两个实业公司名，找到了第一个并返回了位置，没有找到第二个，所以反悔了NULL：

1）简单查找

下面举一个例子，来说明了二分查找的工作原理。这是一个酒桌上常玩的游戏，叫做猜数字，我先随便想一个1～100的数字，然后让另一个参与者，也就是你进行猜测，目标是以最少的次数猜到这个数字。每次你猜测错误后，我都会说小了、大了或对了这样的话来给出新的范围，输的人当然要喝酒，嘿嘿。

假设你从1开始依次往上猜，猜测过程会是这样：

这是 简单查找，更准确的说法是傻找，是一种糟糕的猜数法。每次猜测都只能排除一个数字。如果我想的数字是99，你得猜99次才能猜到！真的是醉了，这样子没人和你玩了哈。

2）更佳的查找方式

有没有更佳的猜数法呢？当然是有的，别着急，下面接着介绍。

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从50开始猜数。

如果我说小了，这样你就知道了新的范围，也就是50 - 100，排除了一半的数字！至此，你就知道1 - 50都小了。接下来，你猜75。

如果我说大了，那余下的数字又排除了一半，也就是50 - 75！使用二分查找时，你猜测的是中间的数字，从而每次都将余下的数字排除一半。接下来，你猜63（50和75中间的数字）。

这就是二分查找，你学习的第一种算法！每次猜测排除的数字个数如下：

我们发现每一次使用二分查找时，都会排除一般的数字，简直不要太好用。换句话说，不管我心里想的是什么数字，你都能在7次之内猜到，因为每一次都能排除很多数字，当然我们说的是这个100以内猜数字是7次以内。

假设你要在字典中查找一个单词，而该字典包含240 000个单词，你认为每种查找最多需要多少步？如果要查找的单词位于字典末尾，使用简单查找将需要240 000步。使用二分查找时，每次排除一半单词，直到最后只剩下一个单词。

因此，使用二分查找只需18步——少多了！一般而言，对于包含n个元素的列表，用二分查找最多需要 $log_{2}n$ 步，而简单查找最多需要n步。

为什么是18，难道要一次一次的数嘛？答案当然是否，使用 $log_{2}n$ 进行计算，如果有的同学忘了对数，就一个例子，2的2次方是4， $2^2=4$，那么 $log_{2}4=2$，也就是说对数运算是幂运算的逆运算。

二、编程实战

如何编写执行二分查找的Python代码？这里的代码示例使用了数组。函数 binary_search 接受一个有序数组和一个元素。如果指定的元素包含在数组中，这个函数将返回其位置。我们准备跟踪的是要在其中查找目标的数组部分——最开始时为整个数组。

每一次都检查有序数组最中间的元素。

如果（low + high）不是偶数，我们就将mid向下取整。如果猜的数字小了，就相应地修改low。如果猜的数字大了，就修改high。完整的代码如下：

python版本代码如下：

def binary_search(list, item):
  #low and high，就是对应你要跟踪搜索的列表的哪个部分
  low = 0
  high = len(list) - 1

  #While 你还没有缩小到一个元素…
  while low <= high:
    # ... check the middle element
    #……检查中间元素
    mid = (low + high) // 2
    guess = list[mid]
    #找到了目标
    if guess == item:
      return mid
    #猜测的太高了
    if guess > item:
      high = mid - 1
    #猜测太低了
    else:
      low = mid + 1

  #目标不存在
  return None

my_list = [1, 3, 5, 7, 9]
print(binary_search(my_list, 3)) # => 1

#'None' 在python中表示 0，我们用来表示找不到这个东西
print(binary_search(my_list, -1)) # => None

c++版本代码如下：

#include <iostream>
#include <vector>

using std::cout;
using std::endl;

template <typename T>
int binary_search(const std::vector<T>& list, const int& item) {
    int low = 0;
    int high = list.size() - 1;

    while (low <= high) {
        int mid = (low + high) / 2;
        T guess = list[mid];

        if (guess == item) {
            return mid;
        }

        if (guess > item) {
            high = mid - 1;
        } else {
            low = mid + 1;
        }
    }

    return -1;
}

// this function returns pointer to the found element rather than array index
template <typename T>
const T* binary_search2(const std::vector<T>& list, const T& item) {
    const T* low = &list.front();
    const T* high = &list.back();

    while (low <= high) {
        // "guess" is the element in the middle between "high" and "low"
        const T* guess = low + ((high - low) / 2);

        if (*guess == item) 
            return guess;
        
        if (*guess > item) {
            high = guess - 1;
        } else {
            low = guess + 1;
        }
    }

    return nullptr;
}

int main() {
    std::vector<int> my_list = {1, 3, 5, 7, 9};
    const int* binary_search2_result = binary_search2(my_list, 9);
    const int* binary_search2_null = binary_search2(my_list, 4); // test finding element that is not in the list

    cout << "Binary search for number 3: " << binary_search(my_list, 3) << endl;
    cout << "Binary search 2 for number 9 (memory address): " << binary_search2_result << endl;
    cout << "Binary search 2 for number 9 (value): " << *binary_search2_result << endl;
    
    if (binary_search2_null == nullptr) {
		cout << "4 was not found in the list" << endl;
	}

    return 0;
}

如果想要使用二分查找在一个包含128个名字的有序列表中查找一个名字，请问最多需要几步才能找到？

import math

int(math.log(128, 2))  # 或者int(math.log2(128))

三、运行时间

每次介绍算法时，都要将讨论其运行时间。一般而言，应选择效率最高的算法，以最大限度地减少运行时间或占用空间。

回到前面的二分查找。使用它可节省多少时间呢？简单查找逐个地检查数字，如果列表包含100个数字，最多需要猜100次。如果列表包含40亿个数字，最多需要猜40亿次。换言之，最多需要猜测的次数与列表长度相同，这被称为 线性时间（linear time）。

二分查找则不同。如果列表包含100个元素，最多要猜7次；如果列表包含40亿个数字，最多需猜32次。厉害吧？二分查找的运行时间为 对数时间（或log时间）。

下表总结了我们发现的情况。

可以发现两个算法的时间成本上的差别。

四、大O 表示法

1）算法运行时间以不同的速度增加

下面来举一个高大上的例子，火箭登录月球计算着陆点，你回看到两种算法的运行时间呈现不同的增速。

Bob需要做出决定，是使用简单查找还是二分查找。使用的算法必须快速而准确。

• 一方面，二分查找的速度更快。Bob必须在10秒钟内找出着陆地点，否则火箭将偏离方向。
• 另一方面，简单查找算法编写起来更容易，因此出现bug的可能性更小。Bob可不希望引导火箭着陆的代码中有bug！

为确保万无一失，Bob决定计算两种算法在列表包含100个元素的情况下需要的时间。假设检查一个元素需要1毫秒。使用简单查找时，Bob必须检查100个元素，因此需要100毫秒才能查找完毕。而使用二分查找时，只需检查7个元素（log2100大约为7），因此需要7毫秒就能查找完毕。然而，真的是这个时间嘛？实际要查找的列表可能包含10亿个元素，在这种情况下，简单查找需要多长时间呢？二分查找又需要多长时间呢？

Bob使用包含10亿个元素的列表运行二分查找，运行时间为30毫秒（log21 000 000 000大约为30）。他心里想，二分查找的速度大约为简单查找的15倍，因为列表包含100个元素时，简单查找需要100毫秒，而二分查找需要7毫秒。因此，列表包含10亿个元素时，简单查找需要30 × 15 = 450毫秒，完全符合在10秒内查找完毕的要求。Bob决定使用简单查找。这是正确的选择吗？

不是，当然不是。实际上，Bob错了，而且错得离谱。列表包含10亿个元素时，简单查找需要10亿毫秒，相当于11天！为什么会这样呢？因为二分查找和简单查找的运行时间的增速不同，就是物理上常说的加速度。

看到了吗？运行时间的增速有着天壤之别。

简单来说，就是随着元素数量的增加，二分查找需要的额外时间并不多，而简单查找需要的额外时间却很多。因此，随着列表的增长，二分查找的速度比简单查找快得多。Bob以为二分查找速度为简单查找的15倍，这不对：列表包含10亿个元素时，为3300万倍。有鉴于此，仅知道算法需要多长时间才能运行完毕还不够，还需知道运行时间如何随列表增长而增加。这正是 大O表示法 的用武之地。

大O表示法指出了算法有多快。例如，假设列表包含n个元素。简单查找需要检查每个元素，因此需要执行n次操作。使用大O表示法，这个运行时间为O(n)。单位秒呢？没有——大O表示法指的并非以秒为单位的速度。大O表示法让你能够比较操作数，它指出了算法运行时间的增速。

再来看一个例子。为检查长度为n的列表，二分查找需要执行log n次操作。使用大O表示法，这个运行时间怎么表示呢？O(log n)。一般而言，大O表示法像下面这样：

这指出了算法需要执行的操作数。之所以称为大O表示法，是因为操作数前有个大O。

2）理解不同的大 O 运行时间

下面来看一些例子，看看你能否确定这些算法的运行时间。首先拿出纸和笔，画一个网格，它包含16个格子。

如果想要绘制这样的网络，有什么好的算法嘛？

• 算法1

一种方法是以每次画一个的方式画16个格子。记住，大O表示法计算的是操作数。在这个示例中，画一个格子是一次操作，需要画16个格子。如果每次画一个格子，需要执行多少次操作呢？

这应该是不难的，画16个格子需要16步。这种算法的运行时间是多少？暂时不知道。

• 算法2

请尝试这种算法——将纸折起来。在这个算法中，将纸对折一次就是一次操作。第一次对折相当于画了两个格子！再折，再折，再折。

折4次后再打开，便得到了漂亮的网格！每折一次，格子数就翻倍，折4次就能得到16个格子！

感受到了嘛？有一种二分寻找的感觉。每折一次，绘制出的格子数都翻倍，因此4步就能“绘制”出16个格子。这种算法的运行时间是多少呢？

答案如下：算法1的运行时间为O(n)，算法2的运行时间为O(log n)。

3）大O 表示法指出了最糟情况下的运行时间

假设使用 简单查找 在电话簿中找人。因为简单查找的运行时间为O(n)，这意味着在最糟情况下，必须查看电话簿中的每个条目。如果要查找的是Adit——电话簿中的第一个人，一次就能找到，无需查看每个条目。考虑到一次就找到了Adit，请问这种算法的运行时间是O(n)还是O(1)呢？

当然还是O(n)，简单查找的运行时间总是为O(n)。至于上面的情况，在查找Adit时，一次就找到了，这是最佳的情形，但大O表示法说的是 最糟的情形。因此可以说，在最糟情况下，必须查看电话簿中的每个条目，对应的运行时间为O(n)。这是一个保证——简单查找的运行时间不可能超过O(n)。

最简单地说，就是最大值，是个上限，实际上每一种可能都有，但是在比较讨论时，就是使用最糟糕的情况。

4）一些常见的大O 运行时间

下面按从快到慢的顺序列出了你经常会遇到的5种大O运行时间。

• O(log n)，也叫 对数时间，这样的算法包括二分查找。
• O(n)，也叫 线性时间，这样的算法包括简单查找。
• O(n * log n)，这样的算法包括第4章将介绍的 快速排序——一种速度较快的排序算法。
• O(n2)，这样的算法包括第2章将介绍的 选择排序——一种速度较慢的排序算法。
• O(n!)，这样的算法包括接下来将介绍的 旅行商问题 的解决方案——一种非常慢的算法。

想象一下他们的函数图像

还有其他的运行时间，但这5种是最常见的。这里做了简化，实际上，并不能如此干净利索地将大O运行时间转换为操作数，但就目前而言，这种准确度足够了。可以获得的主要启示如下：

• 算法的速度指的并非 时间，而是 操作数的增速。
• 谈论算法的速度时，说的是随着输入的增加，其运行时间将以什么样的速度 增加。
• 算法的运行时间用 大O表示法 表示。
• O(log n)比O(n)快，当需要搜索的元素越多时，前者比后者快得越多。

5）旅行商问题

阅读前一节时，你可能认为根本就没有运行时间为O(n!)的算法。然而并不是，这节介绍的就是一个运行时间极长的算法。这个算法要解决的是计算机科学领域非常著名的旅行商问题，其计算时间增加得非常快。

问题如下：

有一位旅行商。他需要前往5个城市。

这位旅行商要前往这5个城市，同时要确保旅程最短。为此，可考虑前往这些城市的各种可能顺序。

对于每种顺序，都计算总旅程，再挑选出旅程最短的路线。5个城市有120（5！）种不同的排列方式。因此，在涉及5个城市时，解决这个问题需要执行120次操作。涉及6个城市时，需要执行720（6！）次操作（有720种不同的排列方式）。涉及7个城市时，需要执行5040（7！）次操作！

推而广之，涉及n个城市时，需要执行n!（n的阶乘）次操作才能计算出结果。因此运行时间为O(n!)，即阶乘时间。除非涉及的城市数很少，否则需要执行非常多的操作。如果涉及的城市数超过100，根本就不能在合理的时间内计算出结果——等你计算出结果，太阳都没了。

这种算法很糟糕！可是别无选择。。。这是计算机科学领域待解的问题之一。

五、总结

• 二分查找的速度比简单查找快得多。
• O(log n)比O(n)快。需要搜索的元素越多，前者比后者就快得越多。
• 算法运行时间并不以秒为单位。
• 算法运行时间是从其增速的角度度量的。
• 算法运行时间用大O表示法表示。

参考文章

• 《算法图解》