算法设计与分析——流水作业调度(动态规划)

一、问题描述

N个作业{1,2,………,n}要在由两台机器M1和M2组成的流水线上完成加工。每个作业加工的顺序都是先在M1上加工,然后在M2上加工。M1和M2加工作业i所需的时间分别为ai和bi,1≤i≤n。流水作业高度问题要求确定这n个作业的最优加工顺序,使得从第一个作业在机器M1上开始加工,到最后一个作业在机器M2上加工完成所需的时间最少。

二、算法思路

直观上,一个最优调度应使机器M1没有空闲时间,且机器M2的空闲时间最少。在一般情况下,机器M2上会有机器空闲和作业积压2种情况。

最优调度应该是:

1. 使M1上的加工是无间断的。即M1上的加工时间是所有ai之和,但M2上不一定是bi之和。

2. 使作业在两台机器上的加工次序是完全相同的。

则得结论:仅需考虑在两台机上加工次序完全相同的调度。

设全部作业的集合为N={1,2,…,n}。S是N的作业子集。在一般情况下,机器M1开始加工S中作业时,机器M2还在加工其他作业,要等时间t后才可利用。将这种情况下完成S中作业所需的最短时间记为T(S,t)。流水作业调度问题的最优值为T(N,0)。   

这个T(S,t)该如何理解?举个例子就好搞了(用ipad pencil写的...没贴类纸膜,太滑,凑合看吧)

1、最优子结构

T(N,0)=min{ai + T(N-{i}, bi)},  i∈N。

ai:选一个作业i先加工,在M1的加工时间。

T(N-{i},bi}:剩下的作业要等bi时间后才能在M2上加工。注意这里函数的定义,因为一开始工作i是随机取的,M1加工完了ai之后,要开始加工bi了,这里M1是空闲的可以开始加工剩下的N-i个作业了,但此时M2开始加工bi,所以要等bi时间之后才能重新利用,对应到上面函数T(s,t)的定义的话,这里就应该表示成T(N-{i},bi), 所以最优解可表示为T(N,0)=min{ai + T(N-{i}, bi)},  i∈N,即我们要枚举所有的工作i,使这个式子取到最小值。

继续分析T(S,t)可得:

   T(S,t)={ai + T(S-{i}, bi+max{t-ai,0})}, i∈S

其中:T(S-{i}, bi+max{t-ai,0}):剩下的作业等bi+max{t-ai,0}才能在M2加工,至于这里是怎么推导出来的呢?见下面推导:

2、最优子结构性质

 

这段证明不是很好理解,简单来说就是要证明问题的最优解包含子问题的最优解就行了,那么这里的证明思路是先假设一个最优调度,对于他的子调度T’,因为T(S,t)被定义为是完成S中作业所需的最短时间记为T(S,t),所以有T’>=T(S, bπ1),那么如果这个子调度这里不是最优解的话即T’>T(S, bπ1),会得出aπ1+T’ > aπ1+T(S, bπ1)即原来假设的最优调度不符和最优调度的标准,矛盾,从而推出 T’是一定等于T(S, bπ1),即这个子调度也是最优调度。

问题是虽然满足最优子结构性质,也在一定程度满足子问题重叠性质。N的每个非空子集都计算一次,共2n-1次,指数级的。https://images2015.cnblogs.com/blog/1037219/201611/1037219-20161107104308389-1375519089.png

为了解决这个问题引入Johnson不等式

3、Johnson不等式

 

 推导公式的最后两步,作用是提出bi和aj,然后直接max三元素

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