线性代数知识点1

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迹和特征值有很重要的联系：

tr(A)=λ1+λ2+⋯+λntr(A)=λ1+λ2+⋯+λn

特征值还和A的行列式有关系：

|A|=λ1λ2⋯λn

A可逆时，1/λ1/λ为A−1A−1的特征值

1. 矩阵A与其转置矩阵ATAT有相同的特征值
2. kλkλ是矩阵kA的特征值(k是任意常数)
3. tr(A+B)=tr(A)+tr(B)tr(A+B)=tr(A)+tr(B)
4. tr(kA)=k⋅tr(A)
5. tr(AT)=tr(A)tr(AT)=tr(A)
6. tr(AB)=tr(BA)tr(AB)=tr(BA)
7. tr(ABC)=tr(BCA)=tr(CAB)
8. 设A、B为n阶方阵，P为n阶可逆矩阵，且P−1AP=BP−1AP=B，则有tr(A)=tr(B)
9. 矩阵A为n阶方阵，若存在n阶矩阵B，使得矩阵A、B的乘积为单位阵，则称A为可逆阵，B为A的逆矩阵。 若方阵的逆阵存在，则称为可逆矩阵或非奇异矩阵，且其逆矩阵唯一。

10. 设n阶方阵A存在n个线性无关的特征向量→xix→i，将这n个特征向量→xix→i组成方阵S(也称为特征向量矩阵），则有：

    AS=A[→x1→x2⋯→xn]

11. =[λ1→x1λ2→x2⋯λn→xn]AS=A[x→1x→2⋯x→n]

12. =[λ1x→1λ2x→2⋯λnx→n]

13. =[→x1→x2⋯→xn]⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣λ10⋯00λ2⋯0⋮⋮⋯⋮00⋯λn⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦

14. =[x→1x→2⋯x→n][λ10⋯00λ2⋯0⋮⋮⋯⋮00⋯λn]

15. =SΛ=SΛ

    所以有：

    A=SΛS−1A=SΛS−1

    这个式子称为A的SΛS−1SΛS−1分解，或特征分解(Eigendecomposition)，或A的对角化。

    根据这个式子可以知道：当方阵A可以被分解为某个矩阵SS乘以某个对角矩阵ΛΛ再乘以矩阵S−1S−1时，就是一次特征分解。

    可以对角化的前提是A有n个线性无关的特征向量。A有n个线性无关的特征向量的前提是，所有的λλ都不重复（没有重根）。

16. 对称矩阵特性：

    A=AT

17. 好文章 https://www.qiujiawei.com/linear-algebra-6/